円に内接する辺の長さが異なる自然数の多角形 -その4-

昨日の続き。

 

おさらい。

 

自然数の半径rの円に内接するn角形があり、
辺の長さがすべて異なる自然数で、
更には半径rや直径2rとも異なる、

このような条件のnにおける半径が最小となるものをみつけたい。
 

 

上記条件を満たす、円に内接する七角形以上になると、

組み合わせ爆発の影響でか、半径も大きくなってくるためか、

半径をインクリメントしながら探すプログラムでは、

なかなか答えを見つけるに至らない。

 

ということで、別アプローチとして、

180˚＋180＝360˚

120˚＋120˚＋120˚＝360˚

60˚＋120˚＋180˚＝360˚

60˚＋60˚＋120˚＋120˚＝360˚

60˚＋60˚＋60˚＋180˚＝360˚

60˚＋60˚＋60˚＋60˚＋120˚＝360˚

60˚＋60˚＋60˚＋60˚＋60˚＋60˚＝360˚

と、いくつかの扇型の和として考えることにした。

 

すると、

60˚は3分割、120˚は2分割、180˚は2分割、3分割、5分割、9分割、

といったような分割方法しか、現時点で私の力では見つけられていません。

 

もっと大きな半径であれば、他の分割数もあるのかもしれないが、その大きな半径を見つけるのは、同様の理由で途方もない時間がかかってしまうことは容易に解る。

 

 

前回は、60˚の3分割について書きました。

 

今回は、120˚について書いてみよう。

 

r a b A˚ B˚ sum
7 2 11 16.4264214035 103.5735785965 120.0000000000
13 1 22 4.4084550079 115.5915449921 120.0000000000
19 11 26 33.6528977855 86.3471022145 120.0000000000
31 13 46 24.2068977415 95.7931022585 120.0000000000
37 26 47 41.1399841842 78.8600158158 120.0000000000
43 22 61 29.6436421241 90.3563578759 120.0000000000
49 23 71 27.1471571930 92.8528428070 120.0000000000
61 47 74 45.3180139667 74.6819860333 120.0000000000
67 13 109 11.1346046411 108.8653953589 120.0000000000
73 46 97 36.7298974222 83.2701025778 120.0000000000
79 11 131 7.9843522287 112.0156477713 120.0000000000
91 61 118 39.1651235886 80.8348764114 120.0000000000
91 74 107 47.9820336045 72.0179663955 120.0000000000
97 2 167 1.1813772056 118.8186227944 120.0000000000
103 37 157 20.6942807367 99.3057192633 120.0000000000
109 71 143 38.0145338214 81.9854661786 120.0000000000
127 107 146 49.8283043838 70.1716956162 120.0000000000
133 23 218 9.9206808110 110.0793191890 120.0000000000
133 97 166 42.7735236180 77.2264763820 120.0000000000
139 22 229 9.0778888464 110.9221111536 120.0000000000
151 59 227 22.5320043333 97.4679956667 120.0000000000
157 118 193 44.1470601302 75.8529398698 120.0000000000
163 37 262 13.0338760164 106.9661239836 120.0000000000
169 146 191 51.1830899841 68.8169100159 120.0000000000
181 1 313 0.3165516706 119.6834483294 120.0000000000
193 143 239 43.4887587819 76.5112412181 120.0000000000
199 109 277 31.7892918910 88.2107081090 120.0000000000
211 166 253 46.3280756324 73.6719243676 120.0000000000
217 73 334 19.3666808550 100.6333191450 120.0000000000
217 191 242 52.2195236620 67.7804763380 120.0000000000
223 83 338 21.4503861929 98.5496138071 120.0000000000
229 26 383 6.5086967675 113.4913032325 120.0000000000
241 193 286 47.2082416038 72.7917583962 120.0000000000
247 94 373 21.9386472066 98.0613527934 120.0000000000
247 131 347 30.7555572225 89.2444427775 120.0000000000
259 11 443 2.4335944123 117.5664055877 120.0000000000
259 157 349 35.2864372193 84.7135627807 120.0000000000
271 242 299 53.0379878211 66.9620121789 120.0000000000
277 122 407 25.4435113002 94.5564886998 120.0000000000
283 59 458 11.9667955427 108.0332044573 120.0000000000
301 73 481 13.9299364724 106.0700635276 120.0000000000
301 239 359 46.7827792794 73.2172207206 120.0000000000
307 253 358 48.6676218957 71.3323781043 120.0000000000
313 142 457 26.2218549836 93.7781450164 120.0000000000
313 142 457 26.2218549836 93.7781450164 120.0000000000
331 299 362 53.7006851472 66.2993148528 120.0000000000
337 167 482 28.6917128150 91.3082871850 120.0000000000
343 286 397 49.2792642104 70.7207357896 120.0000000000
349 169 502 28.0234372600 91.9765627400 120.0000000000
361 46 601 7.3057955710 112.6942044290 120.0000000000
367 227 491 36.0297994152 83.9702005848 120.0000000000
373 121 577 18.6690436342 101.3309563658 120.0000000000
379 83 611 12.5728350533 107.4271649467 120.0000000000
397 362 431 54.2482107327 65.7517892673 120.0000000000
403 218 563 31.3846472506 88.6153527494 120.0000000000
403 277 517 40.2015572665 79.7984427335 120.0000000000
409 143 626 20.1359740989 99.8640259011 120.0000000000
421 358 481 50.3238801466 69.6761198534 120.0000000000
427 13 733 1.7444353702 118.2555646298 120.0000000000
427 229 598 31.1084074367 88.8915925633 120.0000000000
433 359 503 48.9819184561 71.0180815439 120.0000000000
439 94 709 12.2919032728 107.7080967272 120.0000000000
457 47 767 5.8951637591 114.1048362409 120.0000000000
463 397 526 50.7734342752 69.2265657248 120.0000000000
469 262 649 32.4389739554 87.5610260446 120.0000000000
469 431 506 54.7081832376 65.2918167624 120.0000000000
481 121 766 14.4515608078 105.5484391922 120.0000000000
481 194 719 23.2684708237 96.7315291763 120.0000000000
487 349 613 41.9936507839 78.0063492161 120.0000000000
499 26 851 2.9856890394 117.0143109606 120.0000000000
511 61 853 6.8436811743 113.1563188257 120.0000000000
511 347 659 39.6965239813 80.3034760187 120.0000000000
523 179 803 19.7068321089 100.2931678911 120.0000000000
541 241 793 25.7395266499 94.2604733501 120.0000000000
547 506 587 55.1000454468 64.8999545532 120.0000000000
553 338 743 35.5892263678 84.4107736322 120.0000000000
553 481 622 51.5579308252 68.4420691748 120.0000000000
559 251 818 25.9479028680 94.0520971320 120.0000000000
559 334 757 34.7648128838 85.2351871162 120.0000000000
571 181 886 18.2389717613 101.7610282387 120.0000000000
577 71 962 7.0547160985 112.9452839015 120.0000000000
589 503 671 50.5539999560 69.4460000440 120.0000000000
589 22 1009 2.1402044730 117.8597955270 120.0000000000
601 526 673 51.9022122703 68.0977877297 120.0000000000
607 373 814 35.7870124695 84.2129875305 120.0000000000
613 143 983 13.3963933440 106.6036066560 120.0000000000
619 214 949 19.9082307403 100.0917692597 120.0000000000
631 587 674 55.4378807805 64.5621192195 120.0000000000
637 407 842 37.2612978149 82.7387021851 120.0000000000
637 313 913 28.4443877990 91.5556122010 120.0000000000
643 314 923 28.2653365027 91.7346634973 120.0000000000
661 122 1079 10.5900832999 109.4099167001 120.0000000000
673 23 1154 1.9581977233 118.0418022767 120.0000000000
679 517 829 44.7549558021 75.2450441979 120.0000000000
679 491 851 42.3922013909 77.6077986091 120.0000000000
691 299 1019 24.9898469731 95.0101530269 120.0000000000
703 622 781 52.5129136013 67.4870863987 120.0000000000
703 181 1117 14.7928819697 105.2071180303 120.0000000000
709 457 934 37.6023257459 82.3976742541 120.0000000000
721 674 767 55.7321406668 64.2678593332 120.0000000000
721 286 1081 22.8792978599 97.1207021401 120.0000000000
727 482 947 38.7196058504 81.2803941496 120.0000000000
733 383 1034 30.2890986366 89.7109013634 120.0000000000
739 109 1222 8.4586129672 111.5413870328 120.0000000000
751 179 1202 13.6889184649 106.3110815351 120.0000000000
757 673 838 52.7849880483 67.2150119517 120.0000000000
763 502 997 38.4118875821 81.5881124179 120.0000000000
763 74 1283 5.5590447751 114.4409552249 120.0000000000
769 671 863 51.7336531479 68.2663468521 120.0000000000
787 613 949 45.8410128016 74.1589871984 120.0000000000
793 263 1223 19.0904410412 100.9095589588 120.0000000000
793 142 1297 10.2735310253 109.7264689747 120.0000000000
811 253 1261 17.9473063752 102.0526936248 120.0000000000
817 767 866 55.9907443386 64.0092556614 120.0000000000
817 47 1391 3.2965399096 116.7034600904 120.0000000000
823 563 1058 40.0025814745 79.9974185255 120.0000000000
829 458 1151 32.0714216736 87.9285783264 120.0000000000
853 481 1177 32.7527736050 87.2472263950 120.0000000000
859 131 1418 8.7462626746 111.2537373254 120.0000000000
871 781 958 53.2738503669 66.7261496331 120.0000000000
871 659 1067 44.4569403510 75.5430596490 120.0000000000
877 598 1129 39.8676998031 80.1323001969 120.0000000000
883 443 1259 29.0555592597 90.9444407403 120.0000000000
889 409 1294 26.5981170197 93.4018829803 120.0000000000
889 97 1489 6.2547257872 113.7452742128 120.0000000000
907 214 1453 13.5500738493 106.4499261507 120.0000000000
919 866 971 56.2198018531 63.7801981469 120.0000000000
931 838 1021 53.4942594076 66.5057405924 120.0000000000
931 13 1606 0.8000549785 119.1999450215 120.0000000000
937 649 1198 40.5245487570 79.4754512430 120.0000000000
949 454 1369 27.6785575857 92.3214424143 120.0000000000
949 311 1466 18.8616475698 101.1383524302 120.0000000000
961 194 1559 11.5862045170 108.4137954830 120.0000000000
967 253 1534 15.0336076572 104.9663923428 120.0000000000
973 863 1079 52.6514674429 67.3485325571 120.0000000000
973 577 1321 34.4956897501 85.5043102499 120.0000000000
991 46 1693 2.6597805524 117.3402194476 120.0000000000
997 407 1487 23.5550820857 96.4449179143 120.0000000000

 

これが、中心角120˚の扇形の弧を2分割して、それぞれの弦をa、b、それぞれの弦の中心角をA˚、B˚としたものです。

 

半径r＜1000をすべて見つけているかとは思います。

何らかのバグで抜けてしまっているものがあるかもしれませんが、とりあえず信用できるデータかと思います。

 

この表と前回の60˚の3分割の表を使って、60˚＋120˚＝180˚の5分割を作ってみましょう。

 

60˚の3分割のときの最小半径は、r＝91, a＝7, b＝26, c＝61でした。

 

今回の120˚の2分割の表にも、都合よくr＝91が2つ存在します。

 

r＝91, a＝61, b＝118は、61が同じ長さの辺になるので不適。

r＝91, a＝74, b＝107は、適合。

 

よって、180˚の5分割の最小半径は、

r＝91, a＝7, b＝26, c＝61, d＝74, e＝107

ということになります。

 

同様の方法で、180˚の5分割を機械的に作ってみる。

 

r a b c d e A˚ B˚ C˚ D˚ E˚ sum 
91 7 26 61 74 107 4.4084550079 16.4264214035 39.1651235886 47.9820336045 72.0179663955 180.0000000000
133 23 38 77 97 166 9.9206808110 16.4264214035 33.6528977855 42.7735236180 77.2264763820 180.0000000000
217 62 73 91 191 242 16.4264214035 19.3666808550 24.2068977415 52.2195236620 67.7804763380 180.0000000000
247 19 94 131 143 347 4.4084550079 21.9386472066 30.7555572225 33.6528977855 89.2444427775 180.0000000000
259 11 74 157 182 349 2.4335944123 16.4264214035 35.2864372193 41.1399841842 84.7135627807 180.0000000000
301 73 86 154 239 359 13.9299364724 16.4264214035 29.6436421241 46.7827792794 73.2172207206 180.0000000000
403 31 169 218 277 517 4.4084550079 24.2068977415 31.3846472506 40.2015572665 79.7984427335 180.0000000000
469 91 134 262 431 506 11.1346046411 16.4264214035 32.4389739554 54.7081832376 65.2918167624 180.0000000000
481 37 121 194 338 719 4.4084550079 14.4515608078 23.2684708237 41.1399841842 96.7315291763 180.0000000000
511 61 146 322 347 659 6.8436811743 16.4264214035 36.7298974222 39.6965239813 80.3034760187 180.0000000000
553 77 158 338 481 622 7.9843522287 16.4264214035 35.5892263678 51.5579308252 68.4420691748 180.0000000000
559 43 251 286 334 757 4.4084550079 25.9479028680 29.6436421241 34.7648128838 85.2351871162 180.0000000000
589 22 247 341 503 671 2.1402044730 24.2068977415 33.6528977855 50.5539999560 69.4460000440 180.0000000000
637 49 299 313 407 842 4.4084550079 27.1471571930 28.4443877990 37.2612978149 82.7387021851 180.0000000000
679 14 194 491 517 829 1.1813772056 16.4264214035 42.3922013909 44.7549558021 75.2450441979 180.0000000000
721 206 259 286 674 767 16.4264214035 20.6942807367 22.8792978599 55.7321406668 64.2678593332 180.0000000000
763 74 218 497 502 997 5.5590447751 16.4264214035 38.0145338214 38.4118875821 81.5881124179 180.0000000000
793 61 142 263 611 1223 4.4084550079 10.2735310253 19.0904410412 45.3180139667 100.9095589588 180.0000000000
871 67 169 659 781 958 4.4084550079 11.1346046411 44.4569403510 53.2738503669 66.7261496331 180.0000000000
931 13 266 679 838 1021 0.8000549785 16.4264214035 42.7735236180 53.4942594076 66.5057405924 180.0000000000
949 73 311 598 454 1369 4.4084550079 18.8616475698 36.7298974222 27.6785575857 92.3214424143 180.0000000000
973 154 278 577 863 1079 9.0778888464 16.4264214035 34.4956897501 52.6514674429 67.3485325571 180.0000000000

 

180˚の5分割の、r＜1000は上記表の通りです。

こちらも、バグがなければ、データとして信頼出来るかと思います。

 

プログラミングで、半径をインクリメントしながら180˚の5分割を探索しましたが、r＝91まで解が一つも見つかりませんでしたので、最小半径は91であることは、プログラムにバグがないかぎり正しいです。

 

 

続いて、180˚について書いてもいいが、

長くなりそうなので、一旦このへんで、続きはまた後日。

 

 

ではでは