ちょっと気になったので黄金数φを使った級数を計算してみた。
まず、黄金数φとは、
| φ＝ |
1＋√5
2 |
このような無理数で、代数的数です。
このφが分母に来る級数を考えます。
1つ目は、
|
∞ Σ n＝1 |
1
φn |
＝ |
1
φ |
＋ |
1
φ2 |
＋ |
1
φ3 |
＋… |
2つ目は、
|
∞ Σ n＝1 |
2n＋1
φ2n＋1 |
＝ |
3
φ3 |
＋ |
5
φ5 |
＋ |
7
φ7 |
＋… |
実は、これら2つとも、ある同じ値に収束するんです。
どんな値だと思いますか？
それは…
φです。
なんか不思議ですよね。
例えば、2つ目は分母の指数と分子がともに3以上の奇数となっています。
では、それらが2以上の偶数だったら、いくつに収束するのだろうか。
|
∞ Σ n＝1 |
2n
φ2n |
＝ |
2
φ2 |
＋ |
4
φ4 |
＋ |
6
φ6 |
＋… |
こちらは、2に収束します。
なんで奇数は無理数で、偶数は有理数になるんだろう。
これも不思議ですね。
ではでは