平方数の魔方陣

午後のひとときに、平方数の魔方陣について書いてみる。

魔方陣の要素が平方数のものを考える。

例えば、4次の平方数魔方陣は、

定和＝2823

32	432	22	312
382	112	132	332
12	182	472	172
372	232	212	222

5次の平方数魔方陣は、

定和＝1375

12	22	312	32	202
222	162	132	52	212
112	232	102	242	72
122	152	92	272	142
252	192	82	62	172

6次の平方数魔方陣は、

定和＝2775

202	212	92	362	192	142
52	262	62	332	182	252
222	242	352	152	122	112
322	32	302	72	272	82
12	172	232	102	162	402
292	282	22	42	312	132

といったように、存在が確認されている。

しかし、3次の平方数魔方陣は、未解決問題とされていたりする。

未解決問題を解けたわけではないが、3次の平方数魔方陣について、思うところがあるので書いてみる。

3次なので、3×3の9マスの魔方陣なのに、4次、5次、6次といくつも見つかるのに、なんで簡単そうに見える3次がなかなか見つからないのか。

例えば、平方数なので要素のmod 4を取ると0か1になる。

3次なので、どの行、列、斜めだとしても、mod 4の3つの和なので、

定和のパターンを考えると、
0＋0＋0≡0 (mod 4)
0＋0＋1≡1 (mod 4)
0＋1＋1≡2 (mod 4)
1＋1＋1≡3 (mod 4)
のように、右辺は0、1、2、3の4通り考えられるのだが、

3次の魔方陣の中央の値に着目して、

中央のmod 4が0のとき、
縦、横、2つの斜めが、定和により確定すると、

残りの、上、下、左、右、の定和として辻褄が会うのは、

9マスすべてが0の場合に限れるので、

定和のmod 4は0となる。

中央のmod 4が1のとき、

縦、横、2つの斜めが、定和により確定すると、

残りの、上、下、左、右、の定和として辻褄が会うのは、

9マスすべてが1の場合に限れるので、

定和のmod 4は3となる。

これは、かなり厳しい条件であることが解る。

先に上げた4次、5次、6次の要素のmod 4を見てみると、0と1の両方があることが解るだろう。

おそらく、4次、5次、6次であっても、全てのマスのmod 4が等しいようなケースの魔方陣を見つけるのは難しいのではなかろうか。

無いことの証明はとても難しいが、あることの証明は、見つければ良いのだが、それも難しいのである。

さて、プログラミングでもして、探索してみるかな。

ではでは