午後のひとときに、図形問題を解いてみるよ。
問題
正方形ABCDに、点Bから仰角60˚、長さ6の点をPとし、BP、PDを結ぶと、∠PDC＝75˚でした。
正方形ABCDの面積を求めよ。
小学生以上向けです。
シンキングタ～イム
さて、ご多分に漏れず、補助線を引くのですが、どこに引くことが最適かを考えます。
例えば、
各頂点と点Pを結ぶというのは、鉄則な感じがしますが、これは点Pの対称性を証明する必要が出てくるので、三角形PBCが正方形であることないし、三角形BPAが二等辺三角形であることが証明出来れば、正方形ABCDの面積は容易に求めることが出来るのですが、その証明が案外難しかったりもする。
もっと適切な補助線があることを、この後書いて行きます。
これ以外の補助線はと考えると、正方形の面積を求める方法として、対角線の長さから求めることも出来ます。
ということで、
高校生であれば、対角線BDと、点PからBDへの垂線の足Qで、対角線BDの長さを求めることが出来ますね。
∠PBQ＝60˚－45˚＝15˚
∠PDQ＝75˚－45˚＝30˚
PB＝6より、
| BQ＝6cos(15˚)＝6・ |
√6＋√2
4 |
| PQ＝6sin(15˚)＝6・ |
√6－√2
4 |
| QD＝ |
PQ
tan(30˚) |
＝6・ |
√6－√2
4 |
・√3 |
| BD＝6・ |
√6＋√2
4 |
＋6・ |
√6－√2
4 |
・√3 |
| ＝6・ |
√6＋√2
4 |
＋6・ |
3√2－√6
4 |
| ＝ |
6・(√6＋√2＋3√2－√6)
4 |
| ＝ |
6・4√2
4 |
＝6√2
面積Sは、
S＝BD2÷2＝(6√2)2÷2＝36
と求めることが出来ました。
私はcos(15˚)、sin(15˚)は暗記していますが、覚えていない方は半角の公式や加法定理から求める必要が出てきますね。
この解法は三角関数を使っている時点で、高校生以上の解法となってしまいます。
本当に小学生でも解くことが出来るような補助線が存在するのでしょうか？
線分DPをP側に延長し、∠ABPの二等分線との交点をQとし、AQとも結ぶ。
∠ADQ＝∠ABQ＝15˚
AB＝AD、
対称性より、
∠QAB＝∠QAD
よって、
⊿QAB≡⊿QAD
であることが解ります。
また、
∠AQB＝180˚－45˚－15˚＝120˚＝∠AQD＝∠BQD
∠ABQ＝∠PBQ＝15˚
BQを共有することから、
⊿QAB≡⊿QPB
となる。
よって、
PB＝AB＝6
となり、
正方形ABCDの面積Sは、
S＝6×6＝36
というように、小学生でも問題なく解ける補助線が存在しましたね。
今回は、三角関数を使って解く方法と、合同から解く方法をやりました。
補助線の引き方って、いろいろと考えられるんだけれども、そのあとの計算量とか、場合によっては証明とか、そういうことも含めて考えると、やっぱり的確な補助線が引けることってのは、かなり重要だなと思いますね。
ではでは