午後のひとときに、とある式を紹介したいと思う。
| (1式)＝ |
1
1 |
＋ |
1
1×3 |
＋ |
1
1×3×5 |
＋…＋ |
1
(2n－1)！！ |
＋… |
| (2式)＝ | 1 | |||||||||
| 1＋ | 1 | |||||||||
| 1＋ | 2 | |||||||||
| 1＋ | 3 | |||||||||
| 1＋ | 4 | |||||||||
| 1＋ | 5 | |||||||||
| 1＋ | 6 | |||||||||
| 1＋ | 7 | |||||||||
| 1＋ | 8 | |||||||||
| 1＋ | 9 | |||||||||
| ⋱ | ||||||||||
この2つの式の和が、とても興味深い値になります。
| (1式)＋(2式)＝ |
√2eπ
2 |
この式を見つけたのは、インドの魔術師の異名を持つラマヌジャンです。
どういう理屈でこの式にたどり着いたのだろうか。
私にはさっぱり解りません。
それでも解る範囲で、この式について考えて見ようと思う。
(1式)を小数点以下100桁まで正しい値にするのに、どれくらいnを増やせばいいのかを計算してみた。
1 1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
2 1.33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3 1.40000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
4 1.40952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952
5 1.41058201058201058201058201058201058201058201058201058201058201058201058201058201058201058201058201058
6 1.41067821067821067821067821067821067821067821067821067821067821067821067821067821067821067821067821068
7 1.41068561068561068561068561068561068561068561068561068561068561068561068561068561068561068561068561069
8 1.41068610401943735277068610401943735277068610401943735277068610401943735277068610401943735277068610402
9 1.41068613303907421554480378009789774495656848598025068613303907421554480378009789774495656848598025069
10 1.41068613456642352411186260515465881822950966397818822999421554633112940646480378162524705352362731104
11 1.41068613463915444356743683491926648838536400578761382732093823547949057802121834752430850519208669486
12 1.41068613464231665745680962751772769143561854238802363590036096109463671591497550256339813352549797242
13 1.41068613464244314601238453922166613955762872385204002824353787011924256143072578876496171865883442352
14 1.41068613464244783077370212854403423022881428612848507981180368156459833348686468825390851810821725505
15 1.41068613464244799231719583852066761266575171931043146090036457161443818769569706409835495946854080096
16 1.41068613464244799752827628077797836693791099134855876351612460032572334428307875364172419951242220567
17 1.41068613464244799768618780933123020797646127231941110601963247998364107630087819877940205527132770278
18 1.41068613464244799769069956728989454629184842320429260151973270511672444007281532578333570829301071698
19 1.41068613464244799769082150669418277165172375160658669599270838687707804449908389678344202323954269034
20 1.41068613464244799769082463334557477743018209336049167277406673769144608563821898834754731336637684350
21 1.41068613464244799769082470960536482635160790657400155025653889258935750127575886862959866190605572529
22 1.41068613464244799769082471137884831586140850688129247763985219851721590629058537747336729791860639696
23 1.41068613464244799769082471141825906007273740911034338713725916087116831529091485544767326760777418966
24 1.41068613464244799769082471141909758654531887511521681074358696858082687718453888689393509675009690865
25 1.41068613464244799769082471141911469933047359891123463571514467894224848048849039773977717489585859680
26 1.41068613464244799769082471141911503487528055427978400483223404581208027663170513324655839211440294362
27 1.41068613464244799769082471141911504120631464777730380424953761877188842372874692070895049055248868602
28 1.41068613464244799769082471141911504132142435856816780060257950191661220822142040775372125597863569951
29 1.41068613464244799769082471141911504132344382717853383562631707881388806408971292507029618168786634887
30 1.41068613464244799769082471141911504132347805546006546333858381740536731588409076434684829907276856327
31 1.41068613464244799769082471141911504132347861657943483428468655082489976263481826990875898952170138646
32 1.41068613464244799769082471141911504132347862548609149096637072119663837290070283348910677825898603444
33 1.41068613464244799769082471141911504132347862562311697799224278535620358228940874985188135962417502903
34 1.41068613464244799769082471141911504132347862562516213451501699526903291377282227099162426382365546178
35 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519177446462241860110290408417609013857705953669141008
36 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219192870136822549825606039234111247780313828346569
37 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219764738738123405161704636790619431205989994911029
38 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772363652807416566185951424706206984999010465222
39 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772462677673442688322072393980061215895231446445
40 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463931152759474678225823970869497298981079119
41 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946627812768336943767551002932871866877053
42 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946814259193561747598196546709204070320402
43 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816452680917333525615906047749155066794
44 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816477893415673593747163051640477879971
45 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478176702171796759873804493189372254
46 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179815210238551222274304757630411
47 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179848683770183387311614559439638
48 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849036123147936417270452090262
49 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039755652725583308141705217
50 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792344693150641855741731
51 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792707979958239219247043
52 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792711507014623659669425
53 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792711540605636844816305
54 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792711540919571547481229
55 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792711540922451682368063
56 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792711540922477629529206
57 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792711540922477859150101
58 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792711540922477861146804
59 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792711540922477861163870
60 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792711540922477861164014
61 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792711540922477861164015
62 1.41068613464244799769082471141911504132347862562519219772463946816478179849039792711540922477861164015
収束が速いですね。
(式2)も同様に、一番大きな分数の分子を連分数とみて、分子をnとして計算してみた。
1000 0.6556795424187984715438712294319651765523593446842441648356621993335906066641019882354817739840060800
2000 0.6556795424187984715438712307308112833937018914607798520231440221201001885951564074380833302366490086
3000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328599623591177333110429476478827728873537001428849566797
4000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620275922542309724264816235153290059108992336065351
5000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620280536860067300177827950893994678104312208253634
6000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620280536861587339876865701750650779758412438002225
7000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620280536861587341971649123050459660999759534933151
8000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620280536861587341971657663023716613439263369838458
9000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620280536861587341971657663105889063267816134934860
10000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620280536861587341971657663105890658453830348844246
11000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620280536861587341971657663105890658509561276364531
12000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620280536861587341971657663105890658509564490928699
13000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620280536861587341971657663105890658509564491214975
14000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620280536861587341971657663105890658509564491215013
15000 0.6556795424187984715438712307308112833992823328704620280536861587341971657663105890658509564491215013
連分数なのに、収束がとても遅い。
おそらく遅い理由は正則でないからかなと思う。
(1式)は収束が速いからいいんだけれども、(2式)は手計算でどうこう出来る数ではないことが解るだろう。
コンピュータのある現代であれば、こんな計算は容易に出来るが、100年以上前の時代で、この式に辿り着けるというのが、意味不明というか、魔術師と呼ばれる所以である。
さて、eπという超越数同士の掛け算が含まれているのだが、ここも面白いところである。
数学において、数はいろいろと分類されている。
有理数と無理数
有理数は、分母分子を整数で表せる数。
無理数は、分母分子を整数で表せない数。
有理数と無理数を合わせたものが実数です。
さて、無理数の中には、円周率πや、ネイピア数eといった超越数に分類されるものがあります。
超越数とは、係数が有理数のn次方程式の解にならない数。
超越数で無いものは、代数的数と呼びます。
πやeは超越数であることは証明されているのですが、
eπが、超越数か代数的数か、無理数か有理数か、未解決なのです。
もしかすると、このラマヌジャンの式から、なんかしらの判断材料になるのではないかと思ったのです。
まぁ、素人考えだとは思うんだけれどもね。
ではでは