午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
底面が1×1、高さが2の四角柱がある。
底面の1頂点をAとして、立体の表面の上しか通れないすると、
Aから一番遠い点までの距離を求めよ。
シンキングタ～イム
これはちょっと意表をつかれる問題かなと思う。
一番遠いのは、真反対の点だろ！
って思ってしまう人は多いかなと思う。
Aと真反対の頂点をBとして、上記展開図では同じ点が3箇所あるので、それぞれ添字を付けてみました。
Aから見て、それぞれの点の最短距離は、直線で結んだ長さであることは、周知の通りです。
Aから、B1とB3は等距離で、三平方の定理より、√8
方や、Aから、B2の距離は、√10
となって、最短距離が違うことになる。
それぞれの最短距離が違うということは、その点は一番遠い点ではないということになります。
そりゃそうなりますよね。
一番遠いのは、どの最短経路を選んだとしても、同じだけ遠いわけですから。
じゃぁ、その点はどこなの？
というのが今回の問題である。
等距離で波紋のように広がるアニメを作ってみました。
どうやら、上面の対角線上に一番遠い点があることが解るかと思います。
これが解っただけでも、思っていたのと違うというのが聞こえてきますね。
中学生でも解るように方眼上に描いてみました。
一番遠い点Bは、赤線の上にあることは、対称性から明らかである。
点Aは、青線の両端で、便宜上直線で結びます。
青線の両端から、赤線上の点Bまでの距離が等しいということで、青線から垂直二等分線を引いて、その交点が点Bということになります。
赤線の傾きは1、青線の傾きは1/3、緑線の傾きは－3。
黄色の2つの三角形は相似ですので、相似比で用意に座標は求められるかと思います。
青線の左下点を原点(0,0)とすると、交点の座標は(3/4,11/4)ということになります。
距離は、三平方の定理より、√130/4
答え √130/4
ではでは