午後のひとときに、図形問題を作問したので解いてみる。
問題
図のように、相似な直角三角形が連なっている。
面積を求めよ。
中学生レベルの問題です。
シンキングタ～イム
さて、どうしましょうかね。
いやらしいところの長さが10と解っている。
なんでそこなんだろうか。
仮に辺の比として、
一番小さな直角三角形の底辺を1とすると、
一番大きな直角三角形の斜辺の長さはいくつか？
ということです。
直角三角形は、仰角が全て等しい直角三角形ということで、2角が等しいということになり、相似であることが解ります。
辺の比でいくと、1つ大きくなるのに、√3分の2倍大きくなる。
これは、1周360˚を、12個に分けていることから、仰角が30˚だと解るからです。
まだ、中学生なので、12回掛けてもいいのですが、
2つ大きくなるのに、4/3倍と考えれば6回、
4つ大きくなるのに、16/9倍と考えれば3回、
と楽をすることが出来ますね。
ということで、4096/729倍ということが解ります。
さて、一番小さな直角三角形の高さhを1とすると、斜辺は2、底辺は√3、
一番大きな直角三角形の斜辺は2×4096/729ということになります。
| ⎛ ⎝ |
2×4096
729 |
－ | √3 | ⎞ ⎠ |
・ | h | ＝ | 10 |
|
2×4096－729√3
729 |
・ | h | ＝ | 10 |
| h | ＝ |
10×729
2×4096－729√3 |
＝ |
7290
8192－729√3 |
さて、中学生ということで、等比数列の和を使うわけにはいかない。
愚直に計算しますか。
辺の比には根号が入って面倒なので、面積比ならば根号は入らない。
少しでも計算を楽にしましょうかね。
とういうわけで、最小の直角三角形の面積を1としたときの、面積の総和を計算してみる。
| 1 | ＋ |
4
3 |
＋ | … | ＋ |
410
310 |
＋ |
411
311 |
＝ |
311・40＋310・41＋…＋31・410＋30・411
311 |
＝ |
16245775
177147 |
ということで、一番小さな直角三角形の面積は、
| h×h√3÷2 | ＝ | ⎛ ⎝ |
7290
8192－729√3 |
⎞ ⎠ |
2 |
× |
√3
2 |
| ＝ | ⎛ ⎝ |
7290×(8192＋729√3)
81922－7292×3 |
⎞ ⎠ |
2 |
× |
√3
2 |
| ＝ |
72902×(8192＋729√3)2×√3
655145412×2 |
| ＝ |
26572050×(81922＋2×8192×729√3＋7292×3)×√3
655145412 |
| ＝ |
26572050×(67108864＋11943936√3＋1594323)×√3
4292155082440681 |
| ＝ |
26572050×(68703187＋11943936√3)×√3
4292155082440681 |
| ＝ |
26572050×(68703187√3＋11943936×3)
4292155082440681 |
| ＝ |
26572050×(68703187√3＋35831808)
4292155082440681 |
と、とりあえず、この辺までにしておいて、先の値を掛けると、
| S | ＝ |
26572050×(68703187√3＋35831808)
65514541 |
× |
16245775
177147 |
| S | ＝ |
431683545588750×(68703187√3＋35831808)
760342396389119317107 |
| S | ＝ |
29658035357406916346250√3＋15468001922295336960000
760342396389119317107 |
作問しておいてなんだが、疑心暗鬼になってくるくらいの桁数だな。
等比数列でやったところで、この値になるので計算が楽には思えないな。
値としては、
S≒87.904115739
といった値なんだけどね。
アンモナイトなどの化石のイメージなんだけど、面倒な計算させる問題になってしまった。
ではでは