午後のひとときに、数学の図形問題を作問したので、解いてみる。
問題
正方形に、合同な正三角形を2つを対極に内接し、
正三角形の互いの頂点から互いの辺へ垂線を下ろしたところ、
出来上がった四角形は正方形であった。
内側の正方形の面積が1のとき、外側の正方形の面積を求めよ。
今回は三角関数を使わなくても解けるので、中学生以上向けです。
シンキングタ～イム
さて、どうやって解きましょうかね。
当然補助線は引きますよ。
今回の補助線は、こんな感じだろうか。
内側の四角形が正方形になったならば、合同な正三角形で囲うことが出来なければなりませんね。
内側の正方形の面積が1ならば、辺の長さは1ですね。
正三角形はすべて合同になるので、正三角形の辺の長さをT、
外側の正方形の辺の長さをSとして、関係式を考えます。
右下の頂点から伸びる赤線の仰角は30˚です。
赤線の中央から、左下の正三角形の右下の頂点へと補助線を引くと、
| S | ＝ | T | ＋ |
T
2 |
・ |
2
√3 |
＝ |
√3＋1
√3 |
T |
続いて、内側の正方形の辺の長さをTを使って求めると、
| 1 | ＝ | T | － |
T
2 |
・ |
2
√3 |
＝ |
√3－1
√3 |
T |
| T | ＝ |
√3
√3－1 |
| S2 | ＝ |
4＋2√3
3 |
・ |
3
4－2√3 |
＝ |
(4＋2√3)2
(4－2√3)(4＋2√3) |
＝ |
28＋16√3
4 |
＝ | 7＋4√3 |
答え 7＋4√3
ではでは