午後のひとときに、作問してみたので、出題するよ。
1から9までの1桁の自然数をすべて使って出来る9桁の整数Nがあるとき、以下の問いに答えよ。
問1
最大の6の倍数Nを求めよ。
問2
最大の7の倍数Nを求めよ。
シンキングタ～イム
問1だけを答えるので、問2は各自考えてみてくださいね。
では、いってみよう。
3の倍数判定はご存知でしょうか？
ある自然数が3の倍数であることを簡単に調べる方法です。
各桁の数の和が3の倍数ならば、元の数も3の倍数というものです。
これは、9の倍数にも同じことが言える。
でも、今回の問題は6の倍数で最大のものを求める必要があります。
さて、どうしましょうか？
まず、1から9までの和は、(1＋9)×9÷2＝45と容易に求まります。
これは、台形の面積を求める公式と同じことをやっています。
45は3の倍数なので、Nは必ず3で割り切れるということが解りますね。
45が3の倍数か解らないのであれば、4＋5＝9として、9が3の倍数ということであれば、解るかと思います。
では、6の倍数を求めなければいけないので、あとは2の倍数、つまり偶数であれば条件を満たすことが解ります。
というわけで、1桁としてみて大きい数から並べるんだけど、一番小さい偶数である2を一の位にするので、
問1の答え 987654312
と求まります。
さて、問2は各自考えて見て下さいね。
と思ったけど、ちょっと実験をすることにする。
6の倍数にて、2の倍数をやったので、
4の倍数、8の倍数についても考えてみる。
ある自然数が4の倍数であるための条件は、
下二桁が4の倍数であればよい。
つまり、2桁の最小の4の倍数は12なので、末尾を12にして、
987654312
と、最大の6の場合と同じ解になる。
続いて、
ある自然数が8の倍数であるための条件は、
下三桁が8の倍数であればよい。
できるだけ小さい1桁の数を3つ使った3桁の8の倍数を考える必要がある。
312が最小なので、
987654312
と、こちらも最大の6の場合と同じ解になる。
ある自然数が5の倍数であるための条件は、
一の位が0か5であればよい。
今回は0はないので、
987643215
ということになる。
ある自然数が9の倍数であるための条件は、
各桁の和が9の倍数であればよい。
987654321
ということになる。
では、7の場合を考えてみる。
7の倍数判定は、下から3桁ずつに区切って、和、差、和、差、のように計算した結果が7の倍数であれば、元の数も7の倍数である。
上位から6桁を987654とすると、残りの3桁は1、2、3を使った3桁を考えれば良い。
987－654＝333
これに1、2、3を使った三桁の数を足したものが7の倍数であれば良いので、
6パターンをすべてやっても良いのだが、ちょっと数学的に考えると、
333≡4 (mod 7)
なので、mod 7を取ったら3となるようなものを探せば良い。
21が7の倍数で思いつくので、
213≡3 (mod 7)
だと思いつけるのかというところだろうか。
まぁ、6通りの総当たりをやっても大した量ではないだろう。
というわけで、問2の答えは
987654213
ではでは