午後のひとときに、数学の図形問題を解いてみる。
三角形ABCがあり、
AB＝40cm、AC＝25cm、
∠ABC＝θ、∠ACB＝2θのとき、
三角形ABCの面積を求めよ。
シンキングタ～イム
今回は面積を求める問題。
解法は思いつくんだけれども、
本当にそれしかないのか？
それが最適なのか？
と、ちょっと悩んではいる。
まぁ、とりあえずそれを紹介する。
一般的に考えて、三角形の面積を求めるならば、
1) 底辺と高さ
2) 3辺の長さ
3) 2辺と挟まれる角
4) 辺を挟む2角
の4つを思い浮かべるのだが、
今回の図はいずれにも該当していない。
というわけで、BCの長さをxとおいて、考えてみることにする。
余弦定理より、
252＝x2＋402－80x・cos(θ) … (1)
402＝x2＋252－50x・cos(2θ) … (2)
の2式を立式出来る。
(1)－(2)を計算すれば、x2を消せる
252－402＝402－252－80x・cos(θ)＋50x・cos(2θ)
5x・cos(2θ)－8x・cos(θ)＋195＝0
ここで、倍角の定理を使うと、
cos(2θ)＝2・cos2(θ)－1
と置き換えることが出来るので、
5x・(2・cos2(θ)－1)－8x・cos(θ)＋195＝0
10x・cos2(θ)－5x－8x・cos(θ)＋195＝0
10x・cos2(θ)－8x・cos(θ)－5x＋195＝0
| cos(θ) | ＝ |
4x±√64x2＋200x2－7800x
10x |
| ＝ |
4x±√264x2－7800x
10x |
| ＝ |
2x±√66x2－1950x
5x |
なんて考えることが出来るのだが、これはθとxの関係式であって、これではお手上げなのです。
というわけで、(1)、(2)をそれぞれcos(2θ)＝の式に変形することを考える。
| cos(θ) | ＝ |
x2＋402－252
80x |
＝ |
x2＋975
80x |
… (1') |
| cos(2θ) | ＝ |
x2＋252－402
50x |
＝ |
x2－975
50x |
… (2') |
ここで、倍角の公式
cos(2θ)＝2・cos2(θ)－1
を(1')に適用して、どちらも左辺がcos(2θ)となり、
右辺同士を等号で結ぶと、
| 2 | ・ |
(x2＋975)2
(80x)2 |
－ | 1 | ＝ |
x2－975
50x |
x＞0なので、
50x・2・(x2＋975)2－50x・(80x)2＝(80x)2・(x2－975)
(x2＋975)2－3200x2＝64x・(x2－975)
x4＋1950x2＋950625－3200x2＝64x3－62400x
x4－64x3－1250x2＋62400x＋950625＝0
因数定理より、
950625＝32・54・132
の正負の約数が候補となる。
ここで、図の斜辺である40と25の和である65が解となるので、
θ＝2θ＝0であっても代数的には解となるので、
(x－65)(x3＋x2－1185x－14625)＝0
と因数分解出来る。
更に因数定理を推し進めると、
14625＝32・53・13
で、
40－25＝15＜x＜40＋25＝65
を考えると、
25, 39, 45
と候補があがり、
(x－65)(x－39)(x2＋40x＋375)＝0
(x－65)(x－39)(x＋15)(x＋25)＝0
となり、題意を満たすのは、
x＝39のみである。
3辺の長さが、40、25、39と解ったので、
ヘロンの公式より、
| S | ＝ |
√(40＋25＋39)(－40＋25＋39)(40－25＋39)(40＋25－39)
4 |
| ＝ |
√104・24・54・26
4 |
| ＝ |
√23・13・23・3・2・33・2・13
4 |
| ＝ |
√28・34・132
4 |
| ＝ |
24・32・13
4 |
＝468
答え 468cm2
求まるには求まったが、もう少しどうにかしたかったかなとは思う。
例えば、面積が468cm2ということは、BC＝39cmを底辺とすると、高さは24cmである。
これは、AからBCへ下ろした垂線で、2つの直角三角形に分けたとしてみると、
左が24：32：40＝3：4：5の直角三角形で、
右が7：24：25の直角三角形であることが解る。
高さを24cmとすることで、辻褄は会うが、∠ABC＝θ、∠ACB＝2θという条件に添っているかの検証をする必要が出てくるので、なんかちょっと違うかなと思う。
先の余弦定理と倍角の公式とヘロンの公式での解法で解は求まったが、θについて検算してみると、
| tan(θ) | ＝ |
24
32 |
＝ |
3
4 |
⇒ | θ | ＝ | arctan(3/4) |
| tan(2θ) | ＝ |
24
7 |
⇒ | 2θ | ＝ | arctan(24/7) |
逆三角関数の加法定理
arctan(u)＋arctan(v)＝arctan((u＋v)/(1－uv))
より、
arctan(3/4)＋arctan(3/4)＝arctan((6/4)/(7/16))
＝arctan(24/7)
となり、正しいことが解るのだが、だからと言って、AからBCへ垂線の足を下ろして、という解法がしっくりくるかと言われると、当て推量のようで気に入らない。
余弦定理がかなり大回りだということに気がついたので、正弦定理を使ってみる。
|
25
sin(θ) |
＝ |
40
sin(2θ) |
25sin(2θ)＝40sin(θ)
5sin(2θ)＝8sin(θ)
倍角の公式
sin(2θ)＝2sin(θ)cos(θ)
より、
5・2sin(θ)cos(θ)＝8sin(θ)
5cos(θ)＝4
cos(θ)＝4/5＝32/40
cos(2θ)＝7/25
BCをxとすると、
x＝40cos(θ)＋25cos(2θ)＝32＋7＝39
高さは24なので、
39×24÷2＝468
余弦定理よりは解きやすかった。
2辺挟角で面積を求める式を使うことも出来そうだ。
BC＝xとおいて、
40xsin(θ)/2＝25xsin(2θ)/2
とどちらの角を使っても同じ面積であるから等号で結べ、
8sin(θ)＝5sin(2θ)
と正弦定理と同じ式にたどり着ける。
もう一つ思いついていた解法でやってみる。
補助線を引く。
∠ACBの二等分線を引いて、ABの交点をPとする。
∠APCは外角の定理より2θとなって、
⊿ABC ∽ ⊿ACP
となる。
PB＝PC＝xとおいて、
40：25＝25：40－x
外項の積と内項の積は等しいので、
25×25＝40×(40－x)
625＝1600－40x
40x＝1600－625＝975
x＝195/8
BC＝yとおいて、
25：195/8＝40：y
195/8×40＝25y
25y＝975
y＝39
3辺が求まったので、ヘロンの公式で、面積を求めることが出来ますね。
やはり、適切な補助線を引けるか否かは重要ですね。
高校数学を知っているのは良いのだが、万能な方法に引きづられてしまっては、本末転倒であろう。
正しい補助線を引けば、中学生でも解ける問題ですね。
なんで、最初に余弦定理を思いついてしまったのだろうかｗ
まぁ、それによって4通りもの解法を書くことが出来たのは、それはそれで面白かったので良しとしよう。
ではでは