午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
図のように、1辺が10cmの正方形ABCDの対角線ACを1辺とし、点Dを通る長方形ACEFの対角線AEを1辺とし、点Fを通る長方形AEGHがある。
∠CHA＝θを求めよ。
シンキングタ～イム
さて、どうやって解きましょうかね。
角度を求める問題なのに、長さが指定してある。
不思議ですよね。
角度を求めるのであれば、長さは不要と思える情報なのにです。
まぁ、ここが鍵なんでしょう。
罠であったとしても、長さが指定してあるので、あえてその罠に嵌ってみましょうか。
というわけで、A(0, 0)として、他の点の座標を求めてみます。
B(10, 0)、C(10, 10)、D(0, 10)
ここまではいいですよね。
E(5, 15)、F(－5, 5)
ここまでも問題ないでしょう。
線分AEは、A(0, 0)、E(5, 15)なので、三平方の定理で長さを求めることが出来るが、求める必要はそれほどない。
傾きは、xの増加量が5、yの増加量が15、ということが解る。
ということは、HからGを見ても、xの増加量が5、yの増加量が15となる。
⊿ACE ≡ ⊿EFAより、
⊿ACE ∽ ⊿AHF ∽ FGE
AC：CE＝2：1より、
AH：HF＝EG：GF＝2：1
AF：FG＝1：5
これらより、
G(－1, 17)
H(－6. 2)
と、すべての点の座標が求まった。
座標がすべて整数ということで、長さは案外重要な鍵だったということが解ります。
さて、θを求めましょうか。
H(－6, 2)、A(0, 0)、C(10, 10)より、
HAの傾きは－1/3
HCの傾きは1/2
tanの加法定理より、
((1/3)＋(1/2))/(1－(1/3)・(1/2))
＝(5/6)/(5/6)
＝1
tan(θ)＝1
より、
θ＝45˚
答え θ＝45˚
他にも、
D(0, 10)、H(－6, 2)、A(0, 0)、に着目すると、
DHは、xの増加量が－6、yの増加量が－8ということで、DHの長さは10cmと解り、
DH＝DAということで、⊿DHAはDを頂角とする二等辺三角形なので、
Dを中心として、半径10の円を描くと、点Aや点Dは円周上の点であり、点Cも同様である。
よって、∠ADCは中心角、∠CHAは円周角となり、∠CHA＝θ＝90˚/2＝45˚
といったように、様々な解法を考えることが出来るだろう。
面白い解法、エレガントな解法などありましたら、コメントにてお待ちしております。
ではでは