前回からの続きです。
問題1
半径rの円に内接するn角形があり、n角形の辺の長さをs1, s2, s3, …, snとする。
半径rは自然数で、それぞれの辺の長さは互いに異なる自然数で、更にrや2rとも異なるような、最小のrのn角形を求めよ。
なお、各辺を底辺とする二等辺三角形を考えると、二等辺三角形は入れ替え可能なので、s1, s2, s3, …, snの順番も入れ替え可能となるので、
s1＜s2＜s3＜…＜sn
とする。
問題2
半径rの半円の直径を1辺として内接するn角形があり、n角形の辺の長さをs1, s2, s3, …, snとする。それぞれの辺の長さは互いに異なる自然数となるn角形を求めよ。
前回はn＝3について、逆三角関数ではなくて、3辺の長さから外接円の半径rを求める式を導出しましたね。
今回は、それの続きというか、また違ったアプローチです。
真円に内接する正n角形を考えると、nが大きくなるとプログラムのネストも増え、計算量が膨大になってしまう。
前回だかで、半円の直径を1辺とする三角形は、直角三角形になるので、ピタゴラス三角形を2つくっつければ、円に内接する四角形を作れるという発想をしたかと思う。
ここで、半円ではなく、円に内接する正三角形で出来る弓形に着目する。
円に内接する正三角形の1辺の長さsと、半径rとの関係は、頂角120˚の二等辺三角形の関係なので、
2s＝√3r となって、比であらわすと、
r：s＝2：√3
という関係になる。
半径rは自然数を想定しているので、正三角形の1辺は√3の自然数倍であり、余弦定理で表すと、
3c2＝a2＋b2－2abcos(C)
円に内接することから、正三角形の外側の三角形ではCは120˚、正三角形の内側の三角形ではCは60˚、とすることで、
3c2＝a2＋b2＋ab
3c2＝a2＋b2－ab
という式を満たす自然数a、b、cを求めるプログラムであれば、容易に解を見つけられるので、それらを組み合わせて、n＝4、n＝6を容易に求めることが出来る。という算段となる。
円に内接する正三角形を考えた上で、n＝6を考えると、
3つの解を組み合わせて、こんなことが出来、当然中心から各頂点へ分割することで、二等辺三角形となり、辺の順序は入れ替え可能であるので、この通りである必要ないということになる。
n＝3や7以降が見つけにくい理由の一つが、こういった方法が取れないことにあるのだろう。
ではでは