午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
8x＝27y＝125z＝30
のとき
|
xyz
xy＋yz＋zx |
を求めよ。
シンキングタ～イム
まずは、指数表記をlogを使って表してみましょうかね。
8x＝30
xlog(8)＝log(30)
| x | ＝ |
log(30)
3log(2) |
もう一段階、分子をlog(2)log(3)log(5)と積の形にして、
log(2)で約分出来るのだが、ここで留めておく。
同様に、他も同じ形にしましょう。
| y | ＝ |
log(30)
3log(3) |
| z | ＝ |
log(30)
3log(5) |
さて、求めたい値は、分母分子が基本対称式なので、
それぞれがどうやって求まるのかということになる。
|
1
x |
＋ |
1
y |
＋ |
1
z |
＝ |
xy＋yz＋zx
xyz |
であるから、
|
xy＋yz＋zx
xyz |
＝ |
3log(2)
log(30) |
＋ |
3log(3)
log(30) |
＋ |
3log(5)
log(30) |
| ＝ |
3(log(2)＋log(3)＋log(5))
log(30) |
| ＝ |
3log(2・3・5)
log(30) |
| ＝ |
3log(30)
log(30) |
＝3
これの逆数ということで、
|
xyz
xy＋yz＋zx |
＝ |
1
3 |
ではでは