午後のひとときに、数学の問題を作問したので出題してみる。
問題
図のように、1つの直角三角形と2つの二等辺三角形がある。
内接円の半径は1で、いずれの三角形の面積も内接円の面積の2倍である。
1) それぞれの周長を求めよ。
2) それぞれの仰角を求めよ。
電卓、Excel、Wolfram、GeoGebra、ありとあらゆるツールの使用を許可します。
それでも、(B)、(C)の仰角は、求めるのが面倒なので、上級者向け、チャレンジしたい人向けとし、ここでは答えだけを提示するものとします。
シンキングタ～イム
さて、どのように解きましょうか。
まずは周長を求めてみましょう。
この問題では、3つの三角形が提示されていますが、いずれも周長は等しくなっております。
なぜ等しいのかを説明します。
三角形の3辺の長さを a、b、c、面積を S、内接円の半径を r とすると、
| S | ＝ |
r(a＋b＋c)
2 |
という式が成り立ちます。
内接円の中心から各頂点とを結び3つの三角形とみると、内接円の中心から各辺への垂線の足を高さ、各辺を底辺として面積を計算することで容易に求まります。
今回求めたいのは周長であり、周長はa＋b＋cであるから式変形して、
| a＋b＋c | ＝ |
2S
r |
となり、r＝1、S＝2πを代入すると、
a＋b＋c＝4π
答え いずれの三角形においても周長は4π
1)はジャブで、2)は極端に難しい。
それでも1)を求めることが重要であることは、後々解ってくるだろう。
それでは、(A)の直角三角形から仰角を求めてみる。
底辺をw＋1、高さをh＋1、斜辺の長さをw＋hとすることが出来る。
よって、周長が4πであることから、
4π＝2w＋2h＋2
式変形して、
2π＝w＋h＋1
h＝2π－w－1 … (i)
また、三平方の定理より、
(w＋1)2＋(h＋1)2＝(w＋h)2
が成り立ち、式変形すると、
w2＋2w＋1＋h2＋2h＋1＝w2＋2wh＋h2
2w＋2h－2wh＋2＝0 … (ii)
(ii)式に(i)式を代入すると、
2w＋2・(2π－w－1)－2w・(2π－w－1)＋2＝0
2w＋4π－2w－2－4πw＋2w2＋2w＋2＝0
2w2＋2w－4πw＋4π＝0
w2＋w－2πw＋2π＝0
w2－(2π－1)w＋2π＝0
解の公式に代入すると、
| w | ＝ |
2π－1＋√4π2－12π＋1
2 |
| h | ＝ |
2π－1－√4π2－12π＋1
2 |
となり、それぞれ1を足したものが底辺と高さなので、
| w＋1 | ＝ |
2π＋1＋√4π2－12π＋1
2 |
| h＋1 | ＝ |
2π＋1－√4π2－12π＋1
2 |
ということで、仰角αは、
| tan(α) | ＝ |
2π＋1－√4π2－12π＋1
2π＋1＋√4π2－12π＋1 |
有理化しても良い分子が長くなることが予想され、今回はこの形のままで、
| α | ＝ | arctan | ⎛ ⎝ |
2π＋1－√4π2－12π＋1
2π＋1＋√4π2－12π＋1 |
⎞ ⎠ |
≒32.10707965945497˚
(B)、(C)も同様の方法で求めることになるが、
頂角から底辺へ垂線の足を下ろして2つの直角三角形として、
直角三角形の底辺をw、高さをhとし、直角三角形の面積は、内接円の面積と等しいことを利用して、連立方程式を立式する。
というのも良いのだが、なかなか難しいだろう。
そこで、二等辺三角形の斜辺を1と固定し、様々な値を仰角x˚の関数とみて、
頂点からの垂線で二等分された直角三角形の
底辺を、w＝cos(x)
高さを、h＝sin(x)
二等辺三角形の面積を、S＝cos(x)sin(x)
周長を、p＝2＋2cos(x)
内接円の半径を、r＝2S/p
内接円の面積を、T＝πr2
内接円の面積の2倍を2Tとして、
f(x)＝S－2T
という関数と考えて、微分などをしてグラフを描くと、
のようなグラフとなり、
y＝0におけるxの値が二等辺三角形の仰角の解であり、
β≒40.43204340520343˚
γ≒74.73519208333951˚
というように求めることも出来ます。
さて、私自身はというと、あいも変わらず厳密解を求めずに、解析的に解を求めて、正確に図を描いております。
厳密解を求めることが大事な場合も多々ありますが、その計算に膨大な時間が掛かるならば、どのみち有効桁数も無限桁求めることは出来ないので、解析的に必要な桁数求めることの方が楽であったりします。
まぁ、考えるのを放棄しているとも言えなくもないですが、解析的な解法ってのは、プログラミングにおいては案外容易であり、値を求められるという意味で重要だったりします。
ではでは