令和3年製の500円硬貨を入手してしばらく経つが、結構手元に入るようになってきたと思う。
そこで、数学の問題を作ってみたので、紹介します。
| 1円硬貨 | 1.00g |
| 5円硬貨 | 3.75g |
| 10円硬貨 | 4.50g |
| 50円硬貨 | 4.00g |
| 100円硬貨 | 4.80g |
| 旧500円硬貨 | 7.00g |
| 新500円硬貨 | 7.10g |
問題
各硬貨の重量は上記表の通りで、これらの硬貨を十分に持っているとします。
これを踏まえて、以下の問に答えよ。
問1
新500円硬貨が発行される以前において、これらの硬貨を使って表せない0.05g単位の最大の重量を求めよ。
問2
新500円硬貨が発行された以降において、これらの硬貨を使って表せない0.05g単位の最大の重量を求めよ。
シンキングタ～イム
1円硬貨が丁度1.00gなことから、0.05g単位の1.00gの連続した空間を、1円硬貨抜きに作ってみるところから始める。
なお、4.00gの50円硬貨、7.00gの500円硬貨は、1円硬貨を使うことで表せるので、考えなくてよい。
つまり、5円硬貨、10円硬貨、100円硬貨だけを考えれば良い。
また、5円硬貨は2枚で7.50gで10円硬貨を1枚加えれば端数は消え、更に10円硬貨も2枚で端数が消えるので、多くても1枚で良く、残りの重量の調整は100円硬貨を0枚から4枚までで調整すれば良いこととなる。
つまり、この組み合わせで最も重いのは、5円硬貨1枚、10円硬貨1枚、100円硬貨4枚であり、
3.75✕1＋4.50✕1＋4.80✕4＝27.45
と求まり、それ以上はすべて表せるので、27.45gから1.00gを減らした26.45gが答えとなる。
検算してみると、
3.75✕1＋4.50✕1＋4.80✕4＝27.45g ＋1.00✕ 0＝27.45g
3.75✕0＋4.50✕1＋4.80✕0＝ 4.50g ＋1.00✕23＝27.50g
3.75✕1＋4.50✕0＋4.80✕1＝ 8.55g ＋1.00✕19＝27.55g
3.75✕0＋4.50✕0＋4.80✕2＝ 9.60g ＋1.00✕18＝27.60g
3.75✕1＋4.50✕1＋4.80✕3＝22.65g ＋1.00✕ 5＝27.65g
3.75✕0＋4.50✕1＋4.80✕4＝23.70g ＋1.00✕ 4＝27.70g
3.75✕1＋4.50✕0＋4.80✕0＝ 3.75g ＋1.00✕24＝27.75g
3.75✕0＋4.50✕0＋4.80✕1＝ 4.80g ＋1.00✕23＝27.80g
3.75✕1＋4.50✕1＋4.80✕2＝17.85g ＋1.00✕10＝27.85g
3.75✕0＋4.50✕1＋4.80✕3＝18.90g ＋1.00✕ 9＝27.90g
3.75✕1＋4.50✕0＋4.80✕4＝22.95g ＋1.00✕ 5＝27.95g
3.75✕0＋4.50✕0＋4.80✕0＝ 0.00g ＋1.00✕28＝28.00g
3.75✕1＋4.50✕1＋4.80✕1＝13.05g ＋1.00✕15＝28.05g
3.75✕0＋4.50✕1＋4.80✕2＝14.10g ＋1.00✕14＝28.10g
3.75✕1＋4.50✕0＋4.80✕3＝18.15g ＋1.00✕10＝28.15g
3.75✕0＋4.50✕0＋4.80✕4＝19.20g ＋1.00✕ 9＝28.20g
3.75✕1＋4.50✕1＋4.80✕0＝ 8.25g ＋1.00✕20＝28.25g
3.75✕0＋4.50✕1＋4.80✕1＝ 9.30g ＋1.00✕19＝28.30g
3.75✕1＋4.50✕0＋4.80✕2＝13.35g ＋1.00✕15＝28.35g
3.75✕0＋4.50✕0＋4.80✕3＝14.40g ＋1.00✕14＝28.40g
のように、2✕2✕5＝20組が出来、一番重いのが27.45gであり、他は1.00gの1円硬貨を必要枚数追加することで、27.45以上の重量への調整が可能である。
答え 26.45g
問1を踏まえて、新たな硬貨である新500円硬貨の7.10gによって、何が変化するのでしょうか。
考えなければ行けないことが増えてしまうということでしょうか。
問1の26.45g以下にならなければ意味がありません。
もし、7.10gの500円硬貨が4枚使ったとすると、
7.10✕4＝28.40gとなり、オーバーしますので、28.45g以下に対しては、多くても3枚までだということが解ります。
新500円硬貨の7.10g、100円硬貨の4.80gを使った関係性を考える。
7.10✕1＋4.80✕0＝ 7.10
7.10✕2＋4.80✕0＝14.20
7.10✕3＋4.80✕0＝21.30
7.10✕4＋4.80✕0＝28.40
7.10✕0＋4.80✕1＝ 4.80
7.10✕1＋4.80✕1＝11.90
7.10✕2＋4.80✕1＝19.00
7.10✕3＋4.80✕1＝21.10
7.10✕0＋4.80✕2＝ 9.60
7.10✕1＋4.80✕2＝16.70
7.10✕2＋4.80✕2＝23.80
7.10✕3＋4.80✕2＝30.90 28.40gオーバー
7.10✕0＋4.80✕3＝14.40
7.10✕1＋4.80✕3＝21.50
7.10✕2＋4.80✕3＝28.60 28.40gオーバー
小数点以下が同じものは、より少ない方を採用する。
7.10✕0＋4.80✕0＝ 0.00
7.10✕1＋4.80✕0＝ 7.10
7.10✕2＋4.80✕0＝14.20
7.10✕3＋4.80✕0＝21.30
7.10✕0＋4.80✕3＝14.40
7.10✕1＋4.80✕3＝21.50
7.10✕0＋4.80✕2＝ 9.60
7.10✕1＋4.80✕2＝16.70
7.10✕0＋4.80✕1＝ 4.80
7.10✕1＋4.80✕1＝11.90
この結果に対して、10円硬貨を多くて1枚追加するのだが、小さい順にソートした小さい方からの5つだけに10円硬貨を1枚、4.50gを加えると、
7.10✕0＋4.80✕0＋4.50✕0＝ 0.00
7.10✕0＋4.80✕1＋4.50✕0＝ 4.80
7.10✕1＋4.80✕0＋4.50✕0＝ 7.10
7.10✕0＋4.80✕2＋4.50✕0＝ 9.60
7.10✕1＋4.80✕1＋4.50✕0＝11.90
7.10✕2＋4.80✕0＋4.50✕0＝14.20
7.10✕0＋4.80✕3＋4.50✕0＝14.40
7.10✕1＋4.80✕2＋4.50✕0＝16.70
7.10✕3＋4.80✕0＋4.50✕0＝21.30
7.10✕1＋4.80✕3＋4.50✕0＝21.50
7.10✕0＋4.80✕0＋4.50✕1＝ 4.50
7.10✕0＋4.80✕1＋4.50✕1＝ 9.30
7.10✕1＋4.80✕0＋4.50✕1＝11.60
7.10✕0＋4.80✕2＋4.50✕1＝14.10
7.10✕1＋4.80✕1＋4.50✕1＝16.40
小数点以下が同じものは、より少ない方を採用して、小数点以下に着目してソートすると、
7.10✕0＋4.80✕0＋4.50✕0＝ 0.00
7.10✕1＋4.80✕0＋4.50✕0＝ 7.10
7.10✕2＋4.80✕0＋4.50✕0＝14.20
7.10✕0＋4.80✕1＋4.50✕1＝ 9.30
7.10✕0＋4.80✕3＋4.50✕0＝14.40
7.10✕0＋4.80✕0＋4.50✕1＝ 4.50
7.10✕0＋4.80✕2＋4.50✕0＝ 9.60
7.10✕1＋4.80✕2＋4.50✕0＝16.70
7.10✕0＋4.80✕1＋4.50✕0＝ 4.80
7.10✕1＋4.80✕1＋4.50✕0＝11.90
この中で最大は16.70gであることが解る。
更に0.05g単位を考えると、5円硬貨の3.75gを1枚加えたものとなり、
16.70＋3.75＝20.45
となり、ここから1.00gを引いた
20.45－1.00＝19.45
が表すことが出来ない最大の重量となる。
答え 19.45g
今回は机上で導きましたが、プログラミングで解くことも考えると、どうやるのが一番なのだろうか。
総当りでやると、大変なので、別の方法を考える必要があるが、それはまた別の記事で書いていこうかと思う。
それにしても、チキンマックナゲットの定理を使うかと思えば、使えずに終わってしまった。
というか、そもそも使えるのかが疑問でもある。
ではでは