午後のひとときに、確率の問題を解いてみる。
問題
5回に1回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が、正月にA,B,Cの3軒をこの順に年始回りして家に帰ったとき、帽子を忘れてきたことに気がついた。 2軒目の家Bに忘れてきた確率を求めよ。
シンキングタ～イム
早稲田大学の1976年の入試問題らしいです。
条件付き確率の問題を解く上で、私が重要視するのは、母数は何なのか。
家に帰ってきたときに、帽子を忘れたことに気がついたということは、どこの家で帽子をわすたのかが解らないということですね。
というわけで、各家々での帽子を忘れる確率を求めて行けばよい。
Aで忘れる確率は、
1/5
Aで忘れてなくて、Bで忘れた確率は、
(1－1/5)×1/5＝4/25
A、Bで忘れてなくて、Cで忘れた確率は、
(1－1/5－4/25)×1/5＝16/125
よって、A、B、Cのどこかで忘れた確率は、
1/5＋4/25＋15/125＝61/125
故に、
(4/25)/(61/125)＝20/61
答え
20/61
おそらく、これが正しいとは思うのですが、ちょっと引っかかることがあります。
それは、出発時に既に帽子を忘れて出かける可能性です。
自宅で忘れた確率は、
1/5
自宅で忘れてなくて、Aで忘れた確率は、
(1－1/5)×1/5＝4/25
自宅、Aで忘れてなくて、Bで忘れた確率は、
(1－1/5－4/25)×1/5＝16/125
自宅、A、Bで忘れてなくて、Cで忘れた確率は、
(1－1/5－4/25－16/125)×1/5＝64/625
よって、自宅、A、B、Cのどこかで忘れた確率は、
1/5＋4/25＋16/125＋64/625＝369/625
故に、
(16/125)/(369/625)＝80/369
答え
80/369
さて、早稲田大学が用意した解答はどちらだったのでしょうかね。
問題文や注釈に「家を出たときには帽子をかぶっていた」ということが明記されていない以上、80/369が間違いとは言い切れないと思うのですが、皆さんはどう思いますか？
ではでは