午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
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12
11 |
＜ |
y
x |
＜ |
11
10 |
を満たす、正の整数(x, y)の解で、最小のxを求めよ。
シンキングタ～イム
さて、どうやって解きましょうか。
いくつか解法を思いついたので、それぞれ書いてみる。
解法1
2つの不等式に分けて考える。
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12
11 |
＜ |
y
x |
⇒ | 0 | ＜ |
y
x |
－ |
12
11 |
＝ |
11y－12x
11x |
|
y
x |
＜ |
11
10 |
⇒ | 0 | ＜ |
11
10 |
－ |
y
x |
＝ |
11x－10y
10x |
x, yは共に正の整数なので、
分母の11x、10xも正であるから、分子も共に正である。
ここで、
11y－12x＝a … (1)
11x－10y＝b … (2)
とおくと、
a、bもx、y同様に正の整数となる。
(1)式、(2)式を使って、yを消して、xの式を作りたいので、
10倍した(1)式から11倍した(2)式を足すと、
110y－120x＝10a
121x－110y＝11b
より、
x＝10a＋11b
y＝11a＋12b
最小のxを求めたいので、a、bの最小値である1を入れて、
x＝10＋11＝21
y＝11＋12＝23
答え x＝21
解法2
仮分数を帯分数にする。
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1
11 |
＜ |
y
x |
－1 | ＜ |
1
10 |
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1
11 |
＜ |
y－x
x |
＜ |
1
10 |
ｙ－x＝cとおくと、
x、yは共に正の整数なので、分母のxが正であり、cも正の整数となる。
cで場合分けして、
c＝1のとき、xは整数にならず不適
c＝2のとき、20＜x＜22となり、x＝21、y＝23
c≧3のとき、x＞10cとなり、xはc＝2のときより大きくなる
よって、
x＝21
y＝23
答え x＝21
解法3
仮分数を帯分数にして逆数を取る。
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1
11 |
＜ |
y－x
x |
＜ |
1
10 |
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11
1 |
＞ |
x
y－x |
＞ |
10
1 |
11＞x＞10にxの解はないので、分母分子2倍する。
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22
2 |
＞ |
x
y－x |
＞ |
20
2 |
x＝21
y－x＝2
y＝2＋x＝23
答え x＝21
解法4
逆数を取って分母分子を2倍する。
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22
24 |
＞ |
x
y |
＞ |
20
22 |
x＝21
y＝23
答え x＝21
他にも解法はあるかとは思いますが、これくらいにしておきます。
この手の問題で、一番やってしまいそうなのが、いきなり通分してしまうことです。
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120
110 |
＜ |
y
x |
＜ |
121
110 |
120＜y＜121
には解がないので、分母分子を2倍する。
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240
220 |
＜ |
y
x |
＜ |
242
220 |
x＝220とすれば、y＝241となりますが、これが最小のxということにはなりませんので、ここから途方も無い場合分けをするとか、考えたくないですよね。
当然、逆数を取ってから通分しても同じことになります。
まぁ、試してみるのは数学や算数の基本なので、やることはやっても良いですけど、あまりそこに時間を掛けたくはないですよね。