午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
上図のように、
∠C=90˚
BC=CD=DE=EF=FG=GA=1
のとき、
三角形ABCの面積を求めよ。
シンキングタ～イム
まず、
∠BAC=θとおくと、
⊿GAFはGを頂角とし、底角θの二等辺三角形より、
頂角の外角に当たる∠FGE=θ+θ=2θとなる。
⊿FEGはFを頂角とし、底角2θの二等辺三角形より、
∠DFE=2θ+2θ-θ=3θとなる。
同様に、
⊿EFDはEを頂角とし、底角3θの二等辺三角形より、
∠DEF=3θ+3θ-2θ=4θとなる。
⊿CDBはCを頂角とし、底角4θの二等辺三角形より、
∠BDC=4θ+4θ-3θ=5θ=∠DBC
よって、
θ+5θ=90˚
θ=90˚/6=15˚
とθが求まる。
これより、底辺が1/tan(15˚)=cot(15˚)、高さが1の直角三角形の面積1/(2tan(15˚))=cot(15˚)/2を求めればよい。
tanの半角の公式
tan2(θ/2)=(1-cosθ)/(1+cosθ)
より、
cot2(θ/2)=(1+cosθ)/(1-cosθ)
cos(30˚)=√3/2
を代入し、
cot2(15˚)=(1+(√3/2))/(1-(√3/2))=(2+√3)2/(4-3)=(2+√3)2
cot(15˚)=2+√3
答え
(2+√3)/2
この問題を拡張して、一般解を求めてみる。
二等辺三角形の個数は奇数個必要と考え、
2n+1個の二斜辺の長さが1の二等辺三角形が斜辺同士で繋がって構成された直角三角形の面積を求めよ。
と考える。
底辺がcot(θ)、高さが1なので、直角三角形の面積はcot(θ)/2
θをnを使って、ラジアンで表すと、
θ=π/(4n+4)
となり、
面積はcot(π/(4n+4))/2
となる。
もし、厳密解を得ようとするならば、結構大変だと思う。
5度系
6度系
3度系
この辺りを抑えておく必要があるだろうな。
ではでは
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