円周率近似式を同じ土俵で競争させるには

ちょっとやってみたかったことをやってみようかなと思いまして、

この前、3月14日の記事でも書いたんだけど、いろいろな数学者が円周率を求めようと様々な近似式を編み出してきた。

その時代では最速な方法も、時が経つに連れ、もっと収束が速い方法が登場してくる。

速い、遅いという表現では、同じくらいの速度のもので比べてどっちが速いとか遅いということは、あまり語られて来なかったと思う。

まぁ、前置きはこれくらいにして、偉大な数学者たちと近似式を紹介する。

それでは、第一レースの紹介です。

【ライプニッツ級数】
ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ（ドイツ・1646年7月1日～1716年11月14日）

＋と－が交互に現れることからも解るが、振動しながら収束していく。

そこで、

このように2項を()でまとめて1項とすると、各項は正で、＋だけの式となり、単調増加関数となり、下から収束させることも出来る。

また、

このように2項を()でまとめて1項にすると、各項は正で、－だけとなり、単調減少関数となり、上から収束させることも出来る。

ライプニッツからの出馬は、とりあえずこれくらいにしておこう。

続いて、

【ウォリス積】
ジョン・ウォリス（イングランド・1616年11月23日～1703年10月28日）

今度は積です。
%演算子は、前者を後者で割った余りという演算です。

これも、1未満と1超過を交互に掛けていることから、振動しながら収束します。

というわけで、

このように2項を()でまとめて1項とすると、分母の方が分子よりも1小さいので、1超過を掛け続けることになり、単調増加関数となり、下から収束する。

また、

このように2項を()でまとめて1項とすると、分母の方が分子よりも1大きいので、1未満を掛け続けることになり、単調減少関数となり、上から収束する。

ウォリスの出馬もこれくらいにしておきます。

これらの数式をプログラミングして、どのくらいの速度で収束しているのかを比べてみようというのが、今回の企画の趣旨です。

これら6式と、内接正多角形の辺、内接する正多角形の面積、外接する正多角形の辺・面積の3式を加えた9式で競争させます。

【第一レース】

10ⁿ	ライプニッツ	ライプニッツ・下	ライプニッツ・上	ウォリス	ウォリス・下	ウォリス・上	内接正 10ⁿ 角形・辺	内接正 10ⁿ 角形・面積	外接正 10ⁿ 角形・辺・面積
10⁰	0	0	1	0	0	0	0	0	0
10¹	1	1	2	1	1	1	1	0	1
10²	2	2	3	2	2	3	4	2	3
10³	3	4	3	3	3	3	5	5	4
10⁴	4	5	4	4	5	4	8	7	7
10⁵	5	5	6	5	5	4	10	9	9
10⁶	6	7	6	6	6	6	12	11	10
10⁷	7	8	7	7	7	7	14	13	13
10⁸	8	8	9	8	8	8	15	15	15
10⁹	9	10	9	9	9	9	18	17	17
10¹⁰	10	11	10	10	11	10	20	19	19

とても収束が遅いグループです。
10ⁿ項まで求めると、n桁正しい円周率が求まるというイメージです。
参考に内接・外接する正10ⁿ角形の辺の長さや面積から円周率を求めた場合と見比べてみると解りますが、これらは三角関数の精度がそれだけ必要になりますので、参考ということです。

縦軸が正しい円周率の桁数、横軸は項数ですが、10の冪乗であることを注意。

ライプニッツ級数も、ウォリス積も、それほど速度に違いはありませんでした。
敷いて言えば、下から収束させるほうが収束が多少速いように思えますが、そもそもが遅いので、挟み撃ちするとか別の方法も考えられますね。

続いて、第二レースの紹介です。

【マーダヴァ】
サンガマグラーマのマーダヴァ（インド・1340年～1425年）
ライプニッツ級数を発見したとも言われているが、今回は別の式です。

この時代にarctanですから凄いです。

これも振動するので、下から収束と上から収束の出馬としておきます。

ここからは、arctanを使った式です。

【マチンの公式（1706年）】
ジョン・マチン（英・1680年頃～1751年6月9日）

【オイラーによる公式（1748年）】
レオンハルト・オイラー（スイス・1707年4月15日～1783年9月18日）

【ガウスによる公式（1863年）】
ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス（ドイツ・1777年4月30日～1855年2月23日）

【ストマ―による公式（1896年）】
フレドリック・カール・ミュラーツ・ストマー（ノルウェー・1874年9月3日～1957年8月13日）

【高野喜久雄による公式（1982年）】
高野喜久雄（日本・1927年11月20日～2006年5月1日）

arctan系はこれくらいにしておきます。

続いて、連分数を2つ。

【冪乗型連分数】
ウイリアム・ブラウンカー（イングランド・1620年頃～1684年4月5日）

どこで区切るかは色々有るかとは思いますが、
赤文字の部分を初項としてπを導くことにします。
4/π=1+1/3=4/3
π=3を初項とします。

【階乗型連分数】
発見者不明

どこで区切るかは色々あるかとは思いますが、
赤文字の部分を初項としてπを導くことにします。
π/2=0!+1!/3=1+1/3=4/3
π=8/3を初項とします。

連分数はこの2つとします。

【ラマヌジャンによる級数】
シュリニヴァーサ・ラマヌジャン（インド・1887年12月22日～1920年4月26日）

まったく新しい方法です。
モジュラー関数という考え方です。

【第二レース】

n	マーダヴァ	マーダヴァ・下	マーダヴァ・上	マチン	オイラー	ガウス	ストマー	高野喜久雄	冪乗型連分数	階乗型連分数	ラマヌジャン
1	1	1	1	2	2	3	2	4	1	0	7
2	1	2	2	3	4	5	4	7	2	0	16
3	2	4	3	4	6	8	6	10	2	1	24
4	2	5	4	6	7	11	8	14	3	1	32
5	3	6	6	8	9	13	10	17	4	2	40
6	4	7	6	9	11	16	12	22	4	2	48
7	4	8	7	10	11	19	13	25	5	2	54
8	5	9	9	12	14	21	15	29	6	2	64
9	6	10	9	13	16	24	17	32	7	3	71
10	6	11	10	15	18	26	19	35	8	4	78
11	6	12	11	17	20	28	21	37	9	4	87
12	7	13	11	18	22	31	23	42	9	4	95
13	7	14	13	19	23	33	25	46	10	5	104
14	8	15	15	20	25	36	26	48	10	5	112
15	9	16	16	22	27	39	28	53	12	5	119
16	9	17	16	23	29	42	30	56	11	5	128
17	9	18	17	25	29	43	32	59	14	5	136
18	10	19	18	26	31	47	34	62	13	6	143
19	10	20	19	28	33	49	36	66	15	6	151
20	11	20	20	30	35	52	38	69	16	7	160
21	11	22	21	31	37	54	40	73	16	7	168
22	12	23	22	31	39	57	41	76	17	7	176
23	11	24	23	33	40	59	43	78	18	8	183
24	13	25	24	35	42	62	45	83	19	8	192
25	13	26	25	37	43	65	46	86	19	8	198
26	14	26	26	38	45	67	48	90	20	8	207
27	15	27	27	39	47	69	50	93	21	9	216
28	15	29	28	41	48	72	52	96	22	9	223
29	16	30	29	41	50	74	54	99	22	10	231
30	16	30	29	44	52	76	56	103	23	10	239
31	16	31	31	44	54	78	57	106	24	10	248
32	17	31	32	46	56	82	59	110	25	11	255
33	17	34	33	48	57	85	61	114	26	11	264
34	18	35	33	48	59	87	63	117	26	11	271
35	18	35	34	50	61	89	65	121	27	12	280
36	19	36	36	52	62	92	67	124	28	12	287
37	19	38	37	54	64	95	68	127	29	12	295
38	20	38	37	55	66	96	70	131	29	12	303
39	20	39	37	56	68	99	72	133	30	13	311
40	20	40	40	58	69	102	74	137	31	13	319
41	21	41	40	59	71	104	76	141	31	13	327
42	22	42	41	60	72	107	78	144	33	14	335
43	22	43	43	61	74	110	78	148	33	14	344
44	23	44	43	63	76	112	81	151	33	14	351
45	23	45	43	65	77	115	83	155	35	14	360
46	24	46	46	66	80	117	84	158	36	14	367
47	24	47	46	68	81	120	87	161	36	15	375
48	25	48	47	69	83	122	88	163	37	15	383
49	25	48	49	70	85	125	90	168	38	15	390
50	26	49	50	72	86	127	92	171	37	16	398
51	26	51	50	73	88	130	94	175	39	16	407
52	26	52	51	75	90	131	96	178	40	16	415
53	27	52	52	76	91	135	97	181	41	17	423
54	27	53	53	76	93	137	100	184	41	17	431
55	28	55	54	78	95	140	101	188	42	18	439
56	29	56	54	80	96	142	102	192	43	18	447
57	29	57	56	81	98	145	104	195	44	18	455
58	30	58	57	83	100	147	107	199	43	18	463
59	29	58	57	85	102	149	108	202	45	19	471
60	30	59	59	86	103	152	110	205	46	19	479
61	31	60	60	87	105	155	112	207	47	19	486
62	31	62	61	88	107	158	113	212	48	20	495
63	32	62	61	90	108	160	116	215	48	20	503
64	31	63	63	91	109	162	118	219	50	20	511
65	33	64	64	93	112	165	119	222	49	20	519
66	34	64	65	93	113	166	120	226	51	20	526
67	33	66	65	95	115	170	123	229	52	21	535
68	35	67	66	96	117	172	125	232	53	21	543
69	34	68	68	98	119	175	126	235	53	22	551
70	35	69	68	100	120	178	129	239	54	22	559
71	36	70	70	101	121	179	130	243	55	22	567
72	36	70	71	102	124	183	131	244	54	22	575
73	37	72	71	104	125	185	133	248	56	23	583
74	38	73	73	105	127	188	135	253	57	23	591
75	37	74	73	106	128	189	138	256	58	23	599
76	38	75	74	108	130	193	139	259	57	24	607
77	37	75	75	110	132	195	141	263	59	24	615
78	39	76	76	111	134	197	143	266	60	24	622
79	40	78	77	112	136	200	145	270	61	25	630
80	40	79	77	113	137	203	147	273	61	25	638
81	40	80	78	115	139	206	148	276	62	26	646
82	41	81	78	117	141	208	150	279	63	26	655
83	41	82	78	118	142	210	151	283	64	26	663
84	42	82	82	120	144	213	153	286	65	26	671
85	43	84	83	121	146	216	155	290	66	26	679
86	43	84	84	122	147	218	157	293	66	27	687
87	43	84	85	123	149	221	159	297	67	27	695
88	44	86	86	125	151	223	161	300	68	27	703
89	43	87	87	126	153	225	163	303	68	27	711
90	45	88	87	127	153	228	163	306	69	28	719
91	46	89	89	128	156	231	167	310	70	29	727
92	46	90	90	131	158	233	168	313	71	29	735
93	46	91	91	132	159	235	170	316	72	29	742
94	47	92	92	134	161	238	172	320	72	30	751
95	47	93	93	135	163	241	174	324	73	30	759
96	48	93	94	136	163	242	175	326	73	30	761
97	49	94	95	138	166	246	177	330	75	30	775
98	48	96	95	139	166	247	179	334	75	30	782
99	50	96	97	140	168	251	181	337	76	31	791
100	49	98	97	142	171	253	183	341	77	31	798

1着：ラマヌジャン
2着：高野喜久雄
3着：ガウス

インドの魔術師ラマヌジャンが圧倒的速度で逃げ切りました。
高野喜久雄やガウスが他のarctan系よりも有利になった要因は、arctan自体の項数が多かった事によるものと思われる。
arctan自体の項数が3項であるガウスとストマ―で、これだけの差が出るのも面白い事実です。

縦軸が正しい円周率の桁数、横軸が項数です。

グラフにすると、圧倒的なラマヌジャンの速度が解ります。
いずれも、多少の揺れはあるが、ほぼ直線、つまり等速運動と考えて良いですね。

マーダヴァや連分数型は、このレースでは遅い方ですが、第一レースに入れてしまうと、圧倒的な速度で逃げ切ってしまいます。

続いて、第三レースの紹介です。

【ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム】
アドリアン＝マリ・ルジャンドル（フランス・1752年9月18日～1833年1月10日）

算術幾何平均による漸化式での収束です。

参考までに、2ⁿとラマヌジャンを入れました。

【第三レース】

n	ガウス＝ルジャンドル	2ⁿ	ラマヌジャン
0	0	1	7
1	3	2	16
2	8	4	24
3	19	8	32
4	41	16	40
5	84	32	48
6	171	64	54
7	345	128	64
8	694	256	71
9	1392	512	78
10	2788	1024	87
11	5582	2048	95
12	11171	4096	104
13	22348	8192	112
14	44701	16384	119
15	89410	32768	128
16	178825	65536	136
17	357656	131072	143
18	715318	262144	151
19	1430645	524288	160
20	2861297	1048576	168

ガウス＝ルジャンドルの圧勝です。
あれだけ速いと言われたラマヌジャンを、平面に押しつぶしてしまう脅威の加速。
2ⁿは、倍々になっていくグラフ、ドラえもんのバイバインだと思ってください。
それをも上回る加速ですね。

今後、ガウス＝ルジャンドルを上回るものが登場し、第三レースも楽しくなっていくのでしょうか。
それとも、第四レースが行われるのか。
どちらにしても楽しみですね。

総評

第一レースがy=log(x)のグラフ
第二レースがy=ax+bのグラフ
第三レースがy=a^xのグラフ
という圧倒的な次元の異なるグラフということがお解りいただけたでしょうか。

各項の計算量が多くなると、プログラミング的には遅くなるということはありますが、そこは無視して、何回反復させれば、10進数としてみてどれだけ正しい円周率の桁数が求まるかというところに重点を置いております。

振動する式において、2項を1項にまとめて、下から収束、上から収束、ということは、速度は倍になるということでもあります。
また、下から収束、上から収束を使って、算術幾何平均ということも出来るのでしょう。

コンピューターによる円周率の桁数の競争は、アルゴリズムの出来の良さだけではなく、コンピューター自身の性能の差や、ハードウェアを分散させるなどのアイディアによって、もともとの数式の持つポテンシャルが解りにくくなるというところでもあります。

このアルゴリズムを使って、このハードウェアで、何時間掛かって、何桁求めた、と言われても、掛かった時間の短さ、桁数の多さ、くらいしかでしか凄さが解りにくいということです。

同じ土俵で、どれだけの差が出るのかというのは、実際にプログラミングして自分のパソコンなりで性能差を比べないと実感出来なかったりする。

ただ、皆が皆が、プログラミング出来るのか、プログラミングに長けているか、ということではないので、性能差を比べるには同じ土俵におけるグラフが直感的に解りやすいということです。

但し、各式の持つ計算量、計算の難しさは、また別の話しですので、実際にプログラミングしてみて、ボトルネックになるところなどが解ったりもします。

ではでは

n	マーダヴァ	マーダヴァ・下	マーダヴァ・上	マチン	オイラー	ガウス	ストマー	高野喜久雄	冪乗型連分数	階乗型連分数	ラマヌジャン
1	1	1	1	2	2	3	2	4	1	0	7
2	1	2	2	3	4	5	4	7	2	0	16
3	2	4	3	4	6	8	6	10	2	1	24
4	2	5	4	6	7	11	8	14	3	1	32
5	3	6	6	8	9	13	10	17	4	2	40
6	4	7	6	9	11	16	12	22	4	2	48
7	4	8	7	10	11	19	13	25	5	2	54
8	5	9	9	12	14	21	15	29	6	2	64
9	6	10	9	13	16	24	17	32	7	3	71
10	6	11	10	15	18	26	19	35	8	4	78
11	6	12	11	17	20	28	21	37	9	4	87
12	7	13	11	18	22	31	23	42	9	4	95
13	7	14	13	19	23	33	25	46	10	5	104
14	8	15	15	20	25	36	26	48	10	5	112
15	9	16	16	22	27	39	28	53	12	5	119
16	9	17	16	23	29	42	30	56	11	5	128
17	9	18	17	25	29	43	32	59	14	5	136
18	10	19	18	26	31	47	34	62	13	6	143
19	10	20	19	28	33	49	36	66	15	6	151
20	11	20	20	30	35	52	38	69	16	7	160
21	11	22	21	31	37	54	40	73	16	7	168
22	12	23	22	31	39	57	41	76	17	7	176
23	11	24	23	33	40	59	43	78	18	8	183
24	13	25	24	35	42	62	45	83	19	8	192
25	13	26	25	37	43	65	46	86	19	8	198
26	14	26	26	38	45	67	48	90	20	8	207
27	15	27	27	39	47	69	50	93	21	9	216
28	15	29	28	41	48	72	52	96	22	9	223
29	16	30	29	41	50	74	54	99	22	10	231
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