また、お昼のひとときに、過去問を解いてみる。
数Aに対して、Aをこえない整数のうち、最も大きいものを[A]として表す。
(中略)
4) 次の2010個の整数 [1×1/68], [2×2/68], ……, [2010×2010/68] の中に全部で何種類の整数があるか答えよ。
さすが灘中、難しい。
f(x)＝[x^2/68]
x^2と(x＋1)^2の差が68以上になれば、f(x)とf(x＋1)は異なる整数となる。
(x＋1)^2－x^2≧68
この式を満たす最小の自然数xは、
x^2＋2x＋1－x^2≧68
2x＋1≧68
2x≧67
x≧33.5
x＝34
実際に34前後の2乗を計算して、差を取ってみると、
33^2＝1089
34^2＝1156
35^2＝1225
1156－1089＝67
1225－1156＝69
途中だけど、検算してみました。
よって、
x≦34では、
1156÷68＝17
より、0から17までの18種類（←ここ注意ね）
34＜xでは、
2010－34＝1976
の1976種類
合わせて、
18＋1976＝1994
答え 1994種類
さて、事情、いや2乗の話でもしましょうか。
x^2とは、小学生にわかる言葉でいえば、正方形の面積である。
x、つまり正方形の辺の長さが、0, 1, 2, …と変化していくと、
x^2、つまり正方形の面積は、0, 1, 4, …と変化していく。
こういう何らかの規則性をもった数の列びを数列と呼んで、高校で習うようになる。
数列にもいろいろあって、簡単なもので言えば、等差数列。
読んで字の如し、差が等間隔の数列である。
先のxの変化は初項0、公差1の等差数列ですね。
では、x^2はどんな数列なのだろうか。
x^2の階差数列を取る。
階差数列とは、ある数列の隣り合う値の差を、数列にしたものです。
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …
階差数列を取ってみたら、初項1、公差2の等差数列が現れました。
これは、辺が自然数の正方形に、単位正方形をL字状にくっつけて、ひとまわり大きな正方形を作ることをイメージすると分かりやすい。
1辺の長さをxとすると、1辺がx＋1の正方形の面積は、元の正方形の面積に、2x＋1を加えたものである。
だから、階差数列が等差数列になったんですね。
一般項を求めるとかそういうことでなければ、数列は小学生でも扱いやすいというか、扱ってきてほしいところですね。
実は、こういう知識というのは、プログラミングなどで使ったりするんですよ。
まぁ、プログラミングの話は別の機会に。
数Aに対して、Aをこえない整数のうち、最も大きいものを[A]として表す。
(中略)
4) 次の2010個の整数 [1×1/68], [2×2/68], ……, [2010×2010/68] の中に全部で何種類の整数があるか答えよ。
さすが灘中、難しい。
f(x)＝[x^2/68]
x^2と(x＋1)^2の差が68以上になれば、f(x)とf(x＋1)は異なる整数となる。
(x＋1)^2－x^2≧68
この式を満たす最小の自然数xは、
x^2＋2x＋1－x^2≧68
2x＋1≧68
2x≧67
x≧33.5
x＝34
実際に34前後の2乗を計算して、差を取ってみると、
33^2＝1089
34^2＝1156
35^2＝1225
1156－1089＝67
1225－1156＝69
途中だけど、検算してみました。
よって、
x≦34では、
1156÷68＝17
より、0から17までの18種類（←ここ注意ね）
34＜xでは、
2010－34＝1976
の1976種類
合わせて、
18＋1976＝1994
答え 1994種類
さて、事情、いや2乗の話でもしましょうか。
x^2とは、小学生にわかる言葉でいえば、正方形の面積である。
x、つまり正方形の辺の長さが、0, 1, 2, …と変化していくと、
x^2、つまり正方形の面積は、0, 1, 4, …と変化していく。
こういう何らかの規則性をもった数の列びを数列と呼んで、高校で習うようになる。
数列にもいろいろあって、簡単なもので言えば、等差数列。
読んで字の如し、差が等間隔の数列である。
先のxの変化は初項0、公差1の等差数列ですね。
では、x^2はどんな数列なのだろうか。
x^2の階差数列を取る。
階差数列とは、ある数列の隣り合う値の差を、数列にしたものです。
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …
階差数列を取ってみたら、初項1、公差2の等差数列が現れました。
これは、辺が自然数の正方形に、単位正方形をL字状にくっつけて、ひとまわり大きな正方形を作ることをイメージすると分かりやすい。
1辺の長さをxとすると、1辺がx＋1の正方形の面積は、元の正方形の面積に、2x＋1を加えたものである。
だから、階差数列が等差数列になったんですね。
一般項を求めるとかそういうことでなければ、数列は小学生でも扱いやすいというか、扱ってきてほしいところですね。
実は、こういう知識というのは、プログラミングなどで使ったりするんですよ。
まぁ、プログラミングの話は別の機会に。