このCMがやたらとながれて耳についたので記事にしてみる。
2と5のつく日は年間何日あるのだろうか。
20～29までの10日
2、5、12、15、の4日
閏年は2月29日が該当するため、14×12＝168日
平年は2月29日がないので、168－1＝167日
1日3食だとして、煮込みハンバーグの日に1食だけ食べたとすると、
168÷(366×3)≒15.30%
167÷(365×3)≒15.25%
1週間に3食も食べる計算になるんだな。
そういえば、今は桂三度と芸名を変えた世界のナベアツのネタで、3の倍数か3のつく数字でアホになるというのがあったが、10^nまでに何度アホになるかは、計算式で求めることができる。
確率のパーセンテージは、右ペインの数値の頭2桁のあとに小数点を付けるだけです。
30%から始まり、限りなく100%に近づいていくが、100%にはならないということです。
nが大きくなれば、どんどんアホになる確率は上がるんだよね。
因みに、こういう多倍長演算をするならば、多倍長電卓LMのマクロで、C言語風に記述できます。
for (n=1; n<100; n++) printf("%d\t%d\n", n, 10^n-(2/3)*9^n-1);
さて、
10^n-(2/3)*9^n-1
について考えてみよう。
この問題は10^nまでに何回アホになるかということを求めているので、
-(2/3)*9^n-1
が何を意味しているのかということになる。
-1は、世界のナベアツが0からではなく、1から数え始めていることで、0の1個を取り除いている。
つまり、-(2/3)*9^nは、「3のつかない数、かつ、3の倍数ではない数」の個数を引いていることになる。
3のつかない数は、{ 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } という数字を何度も使ってもよいという条件でできるn桁の数ということであり、n桁までに9^n個ある。
ここで、この集合を3の剰余、mod 3で分類してみる。
{ 0, 6, 9 | mod 3 ≡ 0 }
{ 1, 4, 7 | mod 3 ≡ 1 }
{ 2, 5, 8 | mod 3 ≡ 2 }
と、3グループに均等に分かれる。
すべての桁の和が3の倍数であれば、その数自身も3の倍数であるという性質から、n桁であったとしても、3の剰余は0、1、2が均等に現れ、
(1/3)*9^n個が、3のつかない数、かつ、3の倍数
(2/3)*9^n個が、3のつかない数、かつ、3の倍数ではない
ということになる。
2と5のつく日は年間何日あるのだろうか。
20～29までの10日
2、5、12、15、の4日
閏年は2月29日が該当するため、14×12＝168日
平年は2月29日がないので、168－1＝167日
1日3食だとして、煮込みハンバーグの日に1食だけ食べたとすると、
168÷(366×3)≒15.30%
167÷(365×3)≒15.25%
1週間に3食も食べる計算になるんだな。
そういえば、今は桂三度と芸名を変えた世界のナベアツのネタで、3の倍数か3のつく数字でアホになるというのがあったが、10^nまでに何度アホになるかは、計算式で求めることができる。
| n | 10^n－(2/3)×9^n－1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 45 |
| 3 | 513 |
| 4 | 5625 |
| 5 | 60633 |
| 6 | 645705 |
| 7 | 6811353 |
| 8 | 71302185 |
| 9 | 741719673 |
| 10 | 7675477065 |
| 11 | 79079293593 |
| 12 | 811713642345 |
| 13 | 8305422781113 |
| 14 | 84748805030025 |
| 15 | 862739245270233 |
| 16 | 8764653207432105 |
| 17 | 88881878866888953 |
| 18 | 899936909802000585 |
| 19 | 9099432188218005273 |
| 20 | 91894889693962047465 |
| 21 | 927054007245658427193 |
| 22 | 9343486065210925844745 |
| 23 | 94091374586898332602713 |
| 24 | 946822371282084993424425 |
| 25 | 9521401341538764940819833 |
| 26 | 95692612073848884467378505 |
| 27 | 961233508664639960206406553 |
| 28 | 9651101577981759641857658985 |
| 29 | 96859914201835836776718930873 |
| 30 | 971739227816522530990470377865 |
| 31 | 9745653050348702778914233400793 |
| 32 | 97710877453138325010228100607145 |
| 33 | 979397897078244925092052905464313 |
| 34 | 9814581073704204325828476149178825 |
| 35 | 98331229663337838932456285342609433 |
| 36 | 984981066970040550392106568083484905 |
| 37 | 9864829602730364953528959112751364153 |
| 38 | 98783466424573284581760632014762277385 |
| 39 | 989051197821159561235845688132860496473 |
| 40 | 9901460780390436051122611193195744468265 |
| 41 | 99113147023513924460103500738761700214393 |
| 42 | 992018323211625320140931506648855301929545 |
| 43 | 9928164908904627881268383559839697717365913 |
| 44 | 99353484180141650931415452038557279456293225 |
| 45 | 994181357621274858382739068347015515106639033 |
| 46 | 9947632218591473725444651615123139635959751305 |
| 47 | 99528689967323263529001864536108256723637761753 |
| 48 | 995758209705909371761016780824974310512739855785 |
| 49 | 9961823887353184345849151027424768794614658702073 |
| 50 | 99656414986178659112642359246822919151531928318665 |
| … | … |
確率のパーセンテージは、右ペインの数値の頭2桁のあとに小数点を付けるだけです。
30%から始まり、限りなく100%に近づいていくが、100%にはならないということです。
nが大きくなれば、どんどんアホになる確率は上がるんだよね。
因みに、こういう多倍長演算をするならば、多倍長電卓LMのマクロで、C言語風に記述できます。
for (n=1; n<100; n++) printf("%d\t%d\n", n, 10^n-(2/3)*9^n-1);
さて、
10^n-(2/3)*9^n-1
について考えてみよう。
この問題は10^nまでに何回アホになるかということを求めているので、
-(2/3)*9^n-1
が何を意味しているのかということになる。
-1は、世界のナベアツが0からではなく、1から数え始めていることで、0の1個を取り除いている。
つまり、-(2/3)*9^nは、「3のつかない数、かつ、3の倍数ではない数」の個数を引いていることになる。
3のつかない数は、{ 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } という数字を何度も使ってもよいという条件でできるn桁の数ということであり、n桁までに9^n個ある。
ここで、この集合を3の剰余、mod 3で分類してみる。
{ 0, 6, 9 | mod 3 ≡ 0 }
{ 1, 4, 7 | mod 3 ≡ 1 }
{ 2, 5, 8 | mod 3 ≡ 2 }
と、3グループに均等に分かれる。
すべての桁の和が3の倍数であれば、その数自身も3の倍数であるという性質から、n桁であったとしても、3の剰余は0、1、2が均等に現れ、
(1/3)*9^n個が、3のつかない数、かつ、3の倍数
(2/3)*9^n個が、3のつかない数、かつ、3の倍数ではない
ということになる。