四角形の面積を求めよ。

昨夜に放送された、コマ大数学科で出題された図形問題の解法が面白かったので、ここでも出題してみます。


AB＝CD，AD＝2，BC＝1，∠ABC＝120˚，∠BCD＝105˚となる
四角形ABCDの面積を求めなさい。



ADとBCは平行ではないので、台形ではないんですよね。


ヒント1

∠ABCと∠BCDの和

ヒント2

正多角形

ヒント3

同じ長さの辺で連結

解法

ヒント1は225˚であり、
ヒント2の正多角形から、
外角225˚の正八角形が今回の問題を解く上での鍵である。
つまり、線分ABと線分CDの長さが等しいことから、
この図形を8個用意し、
ヒント3の、AとD、BとCがそれぞれ接するように連結することで、
外側に1辺が2、
内側に1辺が1、
の正八角形が現れ、
それらの面積の差を8で割れば良い。
1辺がnの正八角形の面積は、
2*(1+√2)*n^2
問題の面積は、
2*(1+√2)*(2^2-1^2)/8 = 3*(1+√2)/4