万年カレンダー2

今度は、立方体を使った万年カレンダーを数楽的に考えてみよう。

1から31までの日にちを2個の立方体で表現する事を考えます。

それぞれの立方体をAとBとし、集合{}でそれぞれの面で表せる数字を羅列する事にする。

まず、11日、22日のようなレピュニット（repunit）な場合、それぞれの立方体に1と2は確実に存在しないとならないことが判ります。

A: { 1 2 }
B: { 1 2 }

次に、33日、44日、…、99日はあり得ませんので、3から9はどちらか一方の立方体に含まれれば良いことが判ります。

A: { 1 2 3 4 5 6 }
B: { 1 2 7 8 9 0 }

さて、これで出来るのでしょうか？

実は、1日、…、9日は、01日、…、09日と表現しなければなりません。

つまり、0も両方の立方体に無くてはなりません。

A: { 0 1 2 }
B: { 0 1 2 }

残っている面は全部で6面、作らなくてはならない数は、3、4、5、6、7、8、9の全部で7個。
と言うわけで、出来ないですね。

…で終わりません。

これは図形問題であれば解けるのです。

6と9は図形的に点対称な図形なのである。
69日や96日はありませんので、一つの立方体に6/9をいれれば良いのです。

例えば、

A: { 0 1 2 3 4 5 }
B: { 6 7 8 9 0 1 2 }

という事です。
日付の一の位に着目し、前半の1～5と、後半の6～0と分けてみました。