と、挨拶を書いていたのをすっかり忘れていました。。。
さて、前回こちらで定性的に解きましたが、周期がなぜか抵抗つけた方が縮んでますね。。。実際は伸びるので適当に書いたとはいえ気になります。修正面倒なのでここで訂正させて下さい。
定量的解法は単純なのですが微分方程式をバリバリ解くと書く量が増えるので何回かに分けます。
まずは1番からいきます。一応高校生でもある程度理解できるように心がけましたが、例えば単振り子や単振動の微分方程式を解いた経験がないと内容はキツすぎると思います。
最初は単振り子の正負の設定と電流や誘導起電力の正負の設定、文字の定義などをさらっとやります。dθ/dtと書いてると莫大な量になるので、上にドットをつける略記を使いました。あとは(t)は省略しています。この辺は楽をしないと手が疲れるので、慣れていない人はちゃんと全部書いて理解を心がけるといいと思います。そのうち慣れます。
うだうだ書いていますが、定番の文字を使って単振り子の運動方程式を立てる手順に、電磁力を付け加えて、キルヒホッフを連立させるだけです。ここからθが微小角ということでsinθ≒θとcosθ≒1を用い近似の式を立てます。
僕はこの問題は初見では定性的に解きましたが、確認のため微分方程式を組み立てた時は4式が見えて、減衰がe^-μtに沿うことに気づき、μとRの関係性から(3)の答えが妥当であると判断しました。だから実際は微分方程式を解かずに解いた経験を利用して考えます。以下はブログのために久々に真面目に解きました。計算面倒でしたが、良い復習になりました。。。
この辺りはただゴリゴリ解いているだけです。振動が保証されていないとμがω0に比べてでかい場合なんて場合分けしないといけなくなりますが、その場合は抵抗でかすぎて振動ができない〜って結果が出るだけです。こういうのを解いてみて、自分の感覚と結果が一致すると、「物理って面白いなー」なんてなるかもしれません^_^
答えが出ました。初期条件を代入する時は単振動の一般解を初期位相を使わずに、sinとcosを分けてやった方が計算楽になります。予備校でも上位クラスでは、こういうの今はちゃんとやってるみたいですね。素晴らしいですが、定性的に解けないと試験時間内に解くのが辛くなります。
で、この結果から真面目に(3)を考えるとこんな感じになるのかな？
慣れていれば見た目ほど時間かかりません。文字を置き換えると楽なのは数学と同じですね^_^
次回はIIIの強制振動の定量的解法にいきます。
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