依然こちらの記事で、グラフは点の集まりだと書きました。そのときコメントでspinさんから
---以下引用---
グラフは点の集まりですか。
学生時代のレポートの課題だったのですが、
例えば、以下のベクトル場を描け
dx/dt=-y
dy/dt=x+y
xy平面の各点における傾きを細かくプロットして解曲線の全体像を見極めるという。。結局傾きをもって包絡線を描いたに過ぎないんですけど、なんだかグラフは点の集まりでできている!ことに似てるというか実感できるかななんて。
学生時代のレポートの課題だったのですが、
例えば、以下のベクトル場を描け
dx/dt=-y
dy/dt=x+y
xy平面の各点における傾きを細かくプロットして解曲線の全体像を見極めるという。。結局傾きをもって包絡線を描いたに過ぎないんですけど、なんだかグラフは点の集まりでできている!ことに似てるというか実感できるかななんて。
-----------
という言葉をいただき、グラフが点の集まりと言いきってしまうのは、ちょっと違和感を覚えはじめました。1人で仕事をしていると客観的な視点がなくなるため、良いきっかけをもらったと心から感謝しています。小さいものが集まっているということを認識するというところは共通していても、点と断定する結果その後の拡張に弊害がでる可能性が気になりはじめたのです。
点の集まりと考えるのはあくまでも１つ側面に過ぎず、微分のときにはごく短い直線になったり、コメントにおいては各座標での短い時間における(x,y)のベクトル変化量を考えたり、面積分を考えるときは非常に小さい四角形を考えたり、さらに次元が増えると変数と考えるものの極小変化量積といったものを想像するようになる(多重積分だったかな？)という流れを辿り集めるものがどんどん変化していきます。
そもそも中1でやるx-yグラフがなぜ生まれたのかと考えてみると、色々複雑に絡み合い前後しているでしょうが、概ね
数字が生まれ指の数から10進数が基本になる
↓
長さやお金という概念に数字を使うようになる
↓
色々分割して分数とか小数とか
↓
その間の実数が埋まり
↓
数字を長さに置き換える指標として線分図のようなものが生まれる
↓
x軸が生まれる
↓
２つの関係を評価するためにy軸をx軸に垂直に書くことを思いついた天才がいて
↓
今のグラフというのが普遍化していく
といった流れを辿ってきたように勝手に想像しています。(実際はグラフより写像の概念の方が先にあったような気もしますし、逆像法使う入試問題出すんだったら早めに写像の全射、単射、全単射をやるべきだと僕は思っていますが、一応現行過程の中学数学のグラフの話ということで、ここではとりあえずおいておきます。)なんにせよ不勉強で数学の歴史書とか読んだことがないので、あくまでも現代の視点からの僕の想像です。
この流れがある程度正しいと仮定した話になりますが、おそらく人間は2つ以上の数字が同時に変化するとわけわからなくなるため、それを映像化し脳が処理できるようにする道具としてグラフが発明されたのでしょう。2変数の関係の映像化という意味では直線とシンプルに認識するのもとても重要で、点の集まりと考えるのは軌跡や領域を考える上では有効ですが、それもまたグラフをとらえる１つの側面にすぎません。そう考えていくと、
中学時代は普通に
↓
軌跡や領域にいったら点の集まりとも捉えられると拡張
↓
微分を習ったら短い直線の集まりとも捉えられると拡張
↓
ベクトルを習い大学へいってまたどんどん拡張していく
と時期に合わせてグラフの極小単位量のようなものを柔軟に捉えられるようにする現行過程が、やはり正しいカリキュラムなのかもしれないと思い直しました。
というわけで、前回中1で点を連打するというのはメインではなく、どうせ最初に座標をうって結ぶなら点を連打していくという感じにも考えられるよと軽い補足にとどめ、今後のグラフの捉え方に複数の可能性を軽くみせておくあたりが、現状のカリキュラムで数学が苦手になる人を少しでも減らす最善ではないかと修正させて下さい。別のアプローチとしてはグラフではザックリと直線曲線でやっておいて、直線や曲線→点や微小直線を集める、曲面平面→微小面(面の素のようなもの)を集めると図形的な拡張をしていき、それを理解した後にグラフに適用していくという方が良いかもしれません。
そこまで深く考察するしたわけでもないのですが、とりあえずこんな風に考えてみました。色々勝手な想像や不勉強な内容あるかと思いますので、何かご意見やこうするのがベストだ思うとかあれば遠慮なくコメントなりメッセージいただけると今後の参考になるので、ほんとに助かります。よろしくお願いします！
僕のプロフィール詳細はブログプロフィールに詳しくあります。なにかありましたら遠慮なくこちらへメールして下さい^_^
↓内容が良いなと思っていただければご協力お願いします。
家庭教師 ブログランキングへ 
大学受験 ブログランキングへ