古典命題論理1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
古典命題論理2 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
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４．断片論理と定理の例示（承前）
今回は、記号の羅列で終始します。悪しからず(^_^
4.3 →∧断片論理( IC fragment)
以下では、←→ という略号を使用します。定義は次の通り。
A←→B ＝： (A→B)∧(B→A)．
結合の順序は、→の次、つまり最も弱いものとします。
意味は、両辺は論理的に同値である(if and only if)、というものです。
・ A → A∧A．
・ A→ (B→A∧B)．
∧交換： A∧B → B∧A．
・ A→B → (A∧B ←→A)．
・ (A∧B ←→A) → A→B．
・ A∧B → (A←→ A→B)．
・ (A←→ A→B) → A∧B．
・ (A∧B→C) → (A→(B→C))．
・ (A→(B→C)) → (A∧B→C)．
∧結合1： (A∧B)∧C → A∧(B∧C)．
∧結合2： A∧(B∧C) → (A∧B)∧C．
・ (A→B∧C) → (A→B)∧(A→C)．
・ (A→B)∧(A→C) → (A→B∧C)．
∧双合： (A→B) → ((C→D) → (A∧C→B∧D))．
∧双合： (A→B)∧(C→D) → (A∧C→B∧D)．
4.4 →∨断片論理( ID fragment)
∨吸収： A∨A → A．
∨交換： A∨B → B∨A．
・ A∨B → ((A→B)→B)．
・ (A→B) → (A∨B→B)．
・ A∨B → A∨(C→B)．
∨結合1： (A∨B)∨C → A∨(B∨C)．
∨結合1： A∨(B∨C) → (A∨B)∨C．
∨分配1： A∨(B∨C) → (A∨B)∨(A∨C)．
∨分配2： (A∨B)∨(A∨C) → A∨(B∨C)．
・ A∨(B→C) → (B→A∨C)．
・ A∨(B→C) → (A∨B→A∨C)．
・ (A→B)∨(A→C) → (A→B∨C)．
・ (A→B∨C) → (A∨B→B∨C)．
・ (A∨B→B∨C) → (A→B∨C)．
・ A∨B → (C→A)∨(D→B)．
∨双合： (A→B) → ((C→D)→(A∨C→B∨D)．
（→3も使うもの）
・ A∨ (A→B)．
・ (A→B) ∨ (B→A)．
・ ((A→B)→B) → A∨B．
・ (A→B) → (A→C)∨B．
・ (A→B∨C) → B∨(A→C)．
・ (A∨B→A∨C) → A∨(B→C)．
・ (A→B∨C) → (A→B)∨(A→C)．
・ (A→B) → (A→C)∨(D→B)．
・ (A→B)∨(C→D) → (A→D)∨(C→B)．
4.5 →∧∨断片論理＝肯定論理( ICD fragment，positive logic)
・ A ←→ A∧(A∨B)．
・ A ←→ A∨(A∧B)．
・ A→B ←→ (A∨B←→B)．
・ A∧B → A∨C．
・ (A∨B)∧C → A∨(B∧C)．
分配1： (A∧B)∨C → (A∨B)∧(A∨C)．
分配2： (A∨B)∧(A∨C) → (A∧B)∨C．
分配3： (A∨B)∧C → (A∧B)∨(A∧C)．
分配4： (A∧B)∨(A∧C) → (A∨B)∧C．
Modular： (A→B) → ((A∨(C∧B))→((A∨C)∧B))．
・ (A∨B)∧C → A∨(B∧C)．
・ (A→C)∨(B→C) → (A∧B→C)．
・ (A∨B→C) → (A→C)∧(B→C)．
・ (A→C)∧(B→C) → (A∨B→C)．
・ (A→B)∨(C→D) → (A∧C→B∨D)．
・ (A→B)∧(C→D) → (A∨C→B∨D)．
・ (A∨B→C∧D) → ((A→C)∧(B→C)∧(A→D)∧(B→D))．
・ ((A→C)∧(B→C)∧(A→D)∧(B→D)) → (A∨B→C∧D)．
・ ((A→C)∧(A→D))∨((B→C )∧(B→D)) → (A∧B→C∧D)．
・ ((A→C)∧(B→C ))∨((A→D)∧(B→D)) → (A∨B→C∨D)．
・ (A∨B)∧(C∨D) → (A∧C)∨(A∧D)∨(B∧C)∨(B∧D)．
・ (A∧C)∨(A∧D)∨(B∧C)∨(B∧D) → (A∨B)∧(C∨D)．
・ (A∧B)∨(C∧D) → (A∨C)∧(A∨D)∧(B∨C)∧(B∨D)．
・ (A∨C)∧(A∨D)∧(B∨C)∧(B∨D) → (A∧B)∨(C∧D)．
（→3も使うもの）
・ (A∧B→C) → (A→C)∨(B→C)．
・ (A∧B→C∨D) → (A→C)∨(B→D)．
・ (A∧B→C∧D) → ((A→C)∧(A→D)) ∨ ((B→C )∧(B→D))．
・ (A∨B→C∨D) → ((A→C)∧(B→C )) ∨ ((A→D)∧(B→D))．
4.6 →￢∧断片論理( INC fragment)
矛盾律 ： ￢(A∧￢A)．
・ ￢A→ ￢(A∧B)．
・ A∧￢A → B．
・ A∧￢B → ￢(A→B)．
・ (A→B) → ￢(A∧￢B)．
・ ￢(A∧B) → (A→￢B)．
・ (A→B∧￢B) → ￢A．
（→3も使うもの）
・ ￢(A→B) → A∧￢B．
・ ￢(A∧￢B) → (A→B)．
・ (￢A→B∧￢B) → A．
4.7 →￢∨断片論理( IND fragment)
・ ￢A∨B → (A→B)．
・ ￢A → (A∨B→B)．
（→3も使うもの）
排中律 ： A∨￢A
・ (A→B) → ￢A∨B．
・ A∨B → (￢A→B)．
・ (￢A→B) → A∨B．
・ ((A→B)→C) → ￢B∨C．
4.8 →￢∧∨すべてを含む定理
De Morgan1： ￢A∨￢B → ￢(A∧B)．
De Morgan2： ￢A∧￢B → ￢(A∨B)．
De Morgan3： ￢(A∨B) → ￢A∧￢B．
De Morgan4： A∧B → ￢(￢A∨￢B)．
De Morgan5： A∨B → ￢(￢A∧￢B)．
・ (A∨(B∧￢B)) →A．
・ (A∧B)∨￢A → (A→B)．
・ (A∧B)∨(A∧￢B) →A．
・ A→ (A∨B)∧(A∨￢B)．
・ (A∨B)∧(A∨￢B) →A．
・ A∧B → (A∨B)∧(A∨￢B)∧(￢A∨B)．
・ (A∨B)∧(A∨￢B)∧(￢A∨B) → A∧B．
・ (A∧B)∨(A∧￢B)∨(￢A∧B) → A∨B
・ (A∧B)∨(￢A∧B)∨(￢A∧￢B) → (A→B)．
・ (A∧￢B)∨C → ((A→B)→C)．
（→3も使うもの）
De Morgan6： ￢(A∧B) → ￢A∨￢B．
De Morgan7： ￢(￢A∨￢B) → A∧B．
De Morgan8： ￢(￢A∧￢B) → A∨B．
・ (A→B) → (A∧B)∨￢A．
・ A→ (A∧B)∨(A∧￢B)．
・ A∨B → (A∧￢B)∨B．
・ A∨B → (A∧B)∨(A∧￢B)∨(￢A∧B)．
・ (A→B) → (A∧B)∨(￢A∧B)∨(￢A∧￢B)．
・ ((A→B)→C) → (A∧￢B)∨C．
----------------- 続 く -----------------
比較的簡単なものだけに絞りましたが、今後も断りなしに追加するかもしれません。
★ 今日のロジバン 太陽・恒星
たまにはこのブログらしい文章を書いてみようと思いました。
le solri cu tarci 「レ ソㇽﾟリ シュ タㇽシ」
太陽は恒星だ。
solri ： 太陽/恒星だ，x1は x2(惑星)の
tarci ： 星/恒星だ，x1は x2(特性)の
系外惑星の議論もできるようになってますね(^_^