小さな群その他1：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471787694.html
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４．位数5から15までの有限群
さて、本稿の主な目的は「位数15までの有限群を列挙してそれらにある程度慣れ親しむこと」ですが、位数4までのようにひとつひとつ丁寧に見ていくのではなかなか先に進まないので、群論の諸定理を使ってまとめて処理することにします。
・定理4-1 ： ｎが素数のとき、位数ｎの群は巡回群 Ｃn の 1 種類である。その部分群は自明な群に限る。
この定理から、15以下の素数位数 2，3，5，7，11，13 の群は、Ｃ2，Ｃ3，Ｃ5，Ｃ7，Ｃ11，Ｃ13 に限ることが分かります。
元の位数は、位数 1 の元が 1 の1個、位数ｎの元が他のｎ－1個です。
・定理4-2 ： ｎが3以上の素数のとき、位数2ｎの群は巡回群 Ｃ2n と2面体群 Ｄn の2種類である。
この定理から、位数6、10、14の群は、Ｃ6，Ｄ3，Ｃ10，Ｄ5，Ｃ14，Ｄ7 に限ることが分かります。
Ｃ2n の元の位数は、位数 1 が 1 の1個、位数 2 が ａn の1個、位数ｎが ａ2i （1≦ｉ＜ｎ）の形のｎ－1個、位数2ｎが残りのｎ－1個です。
Ｄn の元の位数は、位数 1 が 1 の1個、位数 2 の元が ａiｂ （0≦ｉ＜ｎ）の形のｎ個、位数ｎの元が ａi （1≦ｉ＜ｎ）の形のｎ－1個です。
定理4-3 ： ｎが素数のとき、位数ｎ2 の群は巡回群 Ｃn2 と Ｃn×Ｃn の2種類である。
この定理から、位数 4 と 9 の群は、Ｃ4，Ｃ2×Ｃ2＝Ｄ2，Ｃ9，Ｃ3×Ｃ3 の4種類に限ることが分かります。
Ｃn2 の位数 1 の元は 1 の1個、位数ｎの元がａin （1≦ｉ＜ｎ）の形のｎ－1個、位数ｎ2の元が残りのｎ2－ｎ個です。
Ｃn×Ｃn では、位数 1 の元は 1 の1個、位数ｎの元は残りのｎ2－1個です。
・定理4-4 ： ｎとｍが素数で、ｎ＞ｍ、ｎ≡ｌ（ｍを法として）かつ ｌ≠1 のとき、位数ｎｍの群は Ｃnm の1種類である。
この定理と次の式から、位数15の群は、Ｃ15 に限ることが分かります。
5 ≡ 2 （3を法として）
Ｃnm では、位数 1 の元は 1 の1個、位数ｍの元はａim （1≦ｉ＜ｎ）の形のｎ－1個、位数ｎの元はａin （1≦ｉ＜ｍ）の形のｍ－1個、位数ｎｍの元は残りのｎｍ－ｎ－ｍ＋1個です。
さらに、次の定理が成り立ちます。
・定理4-5（中国式剰余定理Chinese Remainder Theorem） ： ｎとｍが互いに素（最大公約数が1）のとき、次の同型が成り立つ。
Ｃnm ～ Ｃn×Ｃm
これにより、Ｃ6～Ｃ2×Ｃ3，Ｃ10～Ｃ2×Ｃ5，Ｃ12～Ｃ3×Ｃ4，Ｃ14～Ｃ2×Ｃ7，Ｃ15～Ｃ3×Ｃ5 であることが分かります。
以上により位数15以下の群では位数 8 と位数12の群を残すだけとなりました。
ところで、アーベル群については次の定理が役に立ちます。
・定理4-6（有限アーベル群の基本定理） ： 任意の有限アーベル群Ｇは有限巡回群の直積に分解される。
Ｇ ～ Ｃn1×Ｃn2×・・・×Ｃnr
この定理を使うと、8 ＝ 2×4 ＝ 2×2×2 なので、位数 8 のアーベル群は Ｃ8，Ｃ2×Ｃ4，Ｃ2×Ｃ2×Ｃ2 の3種類しか存在しないことが分かります。
これらの群が互いに異なることは、元の位数の最大値が Ｃ8 では8（4個），Ｃ2×Ｃ4 では4（4個），Ｃ2×Ｃ2×Ｃ2 では2（7個）であることから分かります。
次に、位数 8 の非アーベル群としては、2面体群 Ｄ4 と四元数群 Ｑ8 が挙げられます。
Ｄ4 の元の位数は、位数 1 が 1 の1個、位数 2 が ａ2，ｂ，ａｂ，ａ2ｂ，ａ3ｂ の計5個、位数 4 がａ，ａ3 の2個です。
Ｑ8 では、元 ａ2＝ｂ2 は ａ とも ｂ とも可換なので、これを－1 と置きます。
また、ａ＝ ｉ ，ｂ＝ ｊ ，ａｂ＝ ｉ ｊ ＝ｋ と置きます。
この表記では、 Ｑ8 の元は次のようになります。
Ｑ8 ＝ ｛1， ａ， a2， ａ3， ｂ， ａｂ， ａ2ｂ， ａ3ｂ｝
＝ ｛1， ｉ，－1，－ｉ， ｊ， ｋ，－ｊ，－ｋ｝
基本関係から次の式が導かれます。
ｉ 2 ＝ ｊ 2 ＝ ｋ2 ＝ －1， ｉｊ ＝ ｋ，ｊｋ ＝ ｉ， ｋｉ ＝ ｊ， ｊ ｉ ＝ －ｋ， ｋ ｊ ＝ －ｉ， ｉｋ ＝ －ｊ
Ｑ8 の元の位数は、位数 1 が 1 の1個、位数 2 が－1 の1個、位数 4 が ｉ，ｊ，ｋ，－ｉ，－ｊ，－ｋ の6個です。
位数別の元の数が異なるので、Ｄ4 と Ｑ8 は異なる非アーベル群であることがわかります。
位数 8 の群は以上の5種類です。
本当は5種類しかないことを証明しなければいけませんが、定理も証明抜きで示しているので、まあ勘弁してください(^_^
最後に、位数12の群です。
まず、アーベル群は、12 ＝ 2・2・3 なので、次の4種類があり得ます。
Ｃ12，Ｃ2×Ｃ6，Ｃ3×Ｃ4，Ｃ2×Ｃ2×Ｃ3
しかし、これらのいくつかが同型である可能性があります。
中国式剰余定理から、
Ｃ12 ～ Ｃ3×Ｃ4
また、Ｃ6 ～ Ｃ2×Ｃ3 なので、
Ｃ2×Ｃ6 ～ Ｃ2×Ｃ2×Ｃ3
Ｃ12 は位数12の元を4個もちます（ａ，ａ5，ａ7，ａ11）が、Ｃ2×Ｃ6 は位数12の元をもたないので、両者は異なることが分かります。
結局、位数12のアーベル群は2種類です。
次に、非アーベル群としては、二面体群 Ｄ6、四元数群 Ｑ12、4次の交代群 Ａ(4)～正4面体群Ｔ12 の3種類が挙げられます。
二面体群 Ｄ6 では、位数 1 の元が 1 の1個、位数 2 の元が ａ3，ｂ，ａｂ，ａ2ｂ，・・・，ａ5ｂ の7個、位数 3 の元が ａ2，ａ4 の2個、位数 6 の元が ａ，ａ5 の2個となります。
四元数群 Ｑ12 で、 ω3＝1 となる ω と ｉ2＝－1 を使って、 ａ＝－ω，ｂ＝ｉ と置けば、最後の基本関係は ｉω＝ω2ｉ と表わされます。
これにより、12個の元は次のように表示されます。
Ｑ12 ＝ ｛1，ａ，ａ2，ａ3，ａ4，ａ5，ｂ，ａｂ，ａ2ｂ，ａ3ｂ，ａ4ｂ，ａ5ｂ｝
＝ ｛1，－ω，ω2，－1，ω，－ω2，ｉ，－ωｉ，ω2ｉ，－ｉ，ωｉ，－ω2ｉ｝
このうち、位数 2 の元は －1 の1個、位数 3 の元は ω，ω2 の2個、位数 4 の元は ｉ，－ｉ，ωｉ，－ωｉ，ω2ｉ，－ω2ｉ の6個、位数 6 の元は －ω，－ω2 の2個です。
－ω，－ω2 が位数 6 なのに対して、－ωｉ，－ω2ｉ が位数 4 である点にご注意ください。
Ａ(4) は正4面体群 Ｔ12 と同型なので、次の記事をご覧ください。
正多面体と群2：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471786555.html
位数 2 の元の数が、 Ｄ6 では7個、 Ｑ12 では1個、 Ａ(4) では3個とすべて異なるので、位数12の非アーベル群は3種類あることがわかります。
この場合も、全部で5種類に限ることの証明は省きます。
以上から、位数15までの有限群は全部で28種類、うちアーベル群が20種類、非アーベル群が8種類あることが分かります。
位数15までの有限群の種類
. 群の位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 計
種類の数 1 1 1 2 1 2 1 5 2 2 1 5 1 2 1 28
うちアーベル群 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 20
非アーベル群 － － － － － 1 － 2 － 1 － 3 － 1 － 8
位数15までの群28種類と4次の対称群 Ｓ(4)、5次の交代群 Ａ(5) の元の位数を、表の形でまとめておきます。
有限群の元の位数
番号 名称 元の位数
群の位数 1 2 3 4 5 6 7 8以上
1 1 E 1 － －
2 2 C2 1 1 －
3 3 C3 1 － 2 －
4 4 C4 1 1 － 2 －
5 4 D2＝C2×C2 1 3 －
6 5 C5 1 － － － 4 －
7 6 C6＝C2×C3 1 1 2 － － 2 －
8 6 D3 1 3 2 －
9 7 C7 1 － － － － － 6
10 8 C8 1 1 － 2 － － － 8 ： 4
11 8 C2×C4 1 3 － 4 －
12 8 C2×C2×C2 1 7 －
13 8 D4 1 5 － 2
14 8 Q8 1 1 － 6
15 9 C9 1 － 2 － － － － 9 ： 6
16 9 C3×C3 1 － 8 －
17 10 C10＝C2×C5 1 1 － － 4 － － 10 ： 4
18 10 D5 1 5 － － 4 －
19 11 C11 1 － － － － － － 11 ： 10
20 12 C12＝C3×C4 1 1 2 2 － 2 － 12 ： 4
21 12 C2×C6 1 3 2 － － 6 －
＝C2×C2×C3
22 12 D6＝D3×C2 1 7 2 － － 2 －
23 12 Q12 1 1 2 6 － 2 －
24 12 A(4) 1 3 8 －
25 13 C13 1 － 13 ： 12
26 14 C14＝C2×C7 1 1 － － － － 6 14 ： 6
27 14 D7 1 7 － － － － 6
28 15 C15＝C3×C5 1 － 2 － 4 － － 15 ： 8
・ 24 S(4)＝O24 1 9 8 6 －
・ 60 A(5)＝I60 1 15 20 24 －
(注) 位数8以上の元については、右側に示した。たとえば19番C11の「11：10」は 位数11の元が10個あるという意味である。
５．部分群
群Ｇの部分集合ＨがＧの演算に関して群となるとき、ＨをＧの部分群（subgroupサブグループ）といい、次の記号で表します。
Ｈ ＜ Ｇ
ここでは、位数15までの有限群の部分群を求めることにします。
任意の群Ｇについて、単位元だけからなる群 Ｅ＝｛1｝ とＧ自身は常に群Ｇの部分群です。
Ｅ ＜ Ｇ， Ｇ ＜ Ｇ
この2つをＧの自明な部分群（trivial subgroupsトリヴィアル・サブグループス）といいます。
部分群に関しては、次の各定理が有用です。
・定理5-1 ： 巡回群の部分群は、巡回群である。
・定理5-2 ： ｍがｎの約数であるとき、巡回群 Ｃm は巡回群 Ｃn の部分群である。
Ｃm ＜ Ｃn
・定理5-3 ： 群Ｈが群Ｇの部分群である（Ｈ＜Ｇ）とき、Ｈの位数はＧの位数の約数である。（これは、巡回群に限定されない一般的な定理です。）
・群Ｇに自明でない部分群が存在するとき、その最大位数はＧの位数の1／2以下である。
以上から、素数位数の巡回群Ｃ2、Ｃ3、Ｃ5、Ｃ7、Ｃ11、Ｃ13の部分群は自明なものに限ることが分かります。
また、
Ｃ4 の自明でない部分群は Ｃ2、
Ｃ6 の自明でない部分群は Ｃ2 と Ｃ3、
Ｃ8 の自明でない部分群は Ｃ2 と Ｃ4、
Ｃ9 の自明でない部分群は Ｃ3、
Ｃ10 の自明でない部分群は Ｃ2 と Ｃ5、
Ｃ12 の自明でない部分群は Ｃ2、Ｃ3、Ｃ4、Ｃ6
Ｃ14 の自明でない部分群は Ｃ2 と Ｃ7、
Ｃ15 の自明でない部分群は Ｃ3 と Ｃ5
にそれぞれ限ることが分かります。
・定理5-4 ： ｐが素数のとき、群 Ｃp×Ｃp の自明でない部分群は、ｐ＋1個のＣpだけである。
（ｐ2－1）／（ｐ－1） ＝ ｐ＋1
これから、Ｃ2×Ｃ2 の自明でない部分群は3個の Ｃ2、Ｃ3×Ｃ3 では4個の Ｃ3 であることが分かります。
Ｃ2×Ｃ2 ＝ ｛1，ａ｝×｛1，ａ｝＝｛（1，1），（1，ａ），（ａ，1），（ａ，ａ）｝
とすると、部分群は＜（1，ａ）＞，＜（ａ，1）＞，＜（ａ，ａ）＞の3つです。
Ｃ3×Ｃ3 ＝ ｛1，ａ，ａ2｝×｛1，ａ，ａ2｝
とすると、部分群は＜（1，ａ）＞，＜（ａ，1）＞，＜（ａ，ａ）＞，＜（ａ，ａ2）＞の4つです。
たとえば、最後のものは、＜（ａ，ａ2）＞ ＝ ｛（1，1），（ａ，ａ2），（ａ2，ａ）｝となります。
・定理5-5 ： ｍがｎの約数であるとき、2面体群 Ｄm は2面体群 Ｄn の部分群である。
Ｄm ＜ Ｄn
・定理5-6 ： 巡回群 Ｃn は2面体群 Ｄn の部分群であり、両者の位数の比は 1 ： 2 である。
Ｃn ＜ Ｄn
・定理5-7 ： 2面体群 Ｄn は、ｎが奇数のとき部分群として Ｃ2 をｎ個含み、ｎが偶数のとき同じく(ｎ＋1)個含む。
・定理5-8 ： ｎが3以上の素数のとき、 Ｄn の自明でない部分群はｎ個の Ｃ2 と Ｃn だけである。
以上から、
Ｄ3 の自明でない部分群は 3Ｃ2、Ｃ3、
Ｄ4 の自明でない部分群は 5Ｃ2，Ｃ4，2Ｄ2、
Ｄ5 の自明でない部分群は 5Ｃ2，Ｃ5、
Ｄ6 の自明でない部分群は 7Ｃ2，Ｃ3，Ｄ2，Ｃ6，2Ｄ3、
Ｄ7 の自明でない部分群は 7Ｃ2，Ｃ7
にそれぞれ限ることが分かります。
なお、Ｄ4 ＝ ｛1，ａ，ａ2，ａ3，ｂ，ａｂ，ａ2ｂ，ａ3ｂ｝ の部分群 2Ｄ2 は、次の2種類です。
｛1，ａ2，ｂ，ａ2ｂ｝， ｛1，ａ2，ａｂ，ａ3ｂ｝
また、Ｄ6 ＝ ｛1，ａ，・・・，ａ5，ｂ，ａｂ，・・・，ａ5ｂ｝ の部分群 Ｄ2 と 2Ｄ3 は、次のとおり。
｛1，ａ3，ｂ，ａ3ｂ｝
｛1，ａ2，ａ4，ｂ，ａ2ｂ，ａ4ｂ｝， ｛1，ａ2，ａ4，ａｂ，ａ3ｂ，ａ5ｂ｝
2Ｄ2 と 2Ｄ3 の最初の群の鏡映（ｂ，ａ2ｂ，ａ4ｂ）は頂点軸によるものであり、同じく2番目の群の鏡映（ａｂ，ａ3ｂ，ａ5ｂ）は辺中点軸によるものです。
・定理5-9 ： 群ＡとＢは、いずれも直積 Ａ×Ｂ の部分群とみなすことができる。
・定理5-10（推移律） ： 群Ａが群Ｂの部分群で、群Ｂが群Ｃの部分群ならば、ＡはＣの部分群でもある。
Ａ ＜ Ｂ， Ｂ ＜ Ｃ → Ａ ＜ Ｃ
・定理5-11 ： 群Ｇに部分群として含まれる Ｃ2 の数は位数 2 の元の数に等しい。
群 Ｃ2×Ｃ2 ＝｛1，－1｝×｛1，－1｝ は、位数 2 の元を3個含むので、定理5-11からその部分群は以下の3個の Ｃ2 に限ることが分かります。
｛（1，1），（－1，1）｝， ｛（1，1），（1，－1）｝， ｛（1，1），（－1，－1）｝
次に、群 Ｃ2×Ｃ2×Ｃ2＝｛1，－1｝×｛1，－1｝×｛1，－1｝ は、単位元以外に位数 2 の元を7個含むので、その Ｃ2 部分群は7個です。
また、位数 8 未満の群で位数 2 以下の元しか含まないのは Ｃ2 の他に Ｄ2 もあるので、Ｄ2 部分群を列挙すると以下の6個となります。
｛（1，1，1）， （－1，1，1）， （1，－1，1）， （－1，－1，1）｝，
｛（1，1，1）， （－1，1，1）， （1，1，－1）， （－1，1，－1）｝，
｛（1，1，1）， （1，－1，1）， （1，1，－1）， （1，－1，－1）｝，
｛（1，1，1）， （－1，－1，1）， （1，1，－1）， （－1，－1，－1）｝，
｛（1，1，1）， （－1，1，－1）， （1，－1，1）， （－1，－1，－1）｝，
｛（1，1，1）， （1，－1，－1）， （－1，1，1）， （－1，－1，－1）｝
後半の3個は、ちょっと思いつきにくいかもしれません。
部分群のまとめとして、位数15までの群28種類と Ｓ(4) ＝ Ｏ24 の自明でない部分群を表の形でまとめておきます。
（この表は私のオリジナルなので、他の表と比べ間違いの確率が相対的に高いです(^^; ご注意を！）
有限群の自明でない部分群
番号 名称 自明でない部分群
群の位数 個数 内訳 .
1 1 E 0 ―
2 2 C2 0 ―
3 3 C3 0 ―
4 4 C4 1 C2
5 4 C2×C2＝D2 3 3C2
6 5 C5 0 ―
7 6 C6＝C2×C3 2 C2，C3
8 6 D3 4 3C2，C3
9 7 C7 0 ―
10 8 C8 2 C2，C4
11 8 C2×C4 6 3C2，2C4，D2
12 8 C2×C2×C2 13 7C2，6D2
13 8 D4 8 5C2，C4，2D2
14 8 Q8 4 C2，3C4
15 9 C9 1 C3
16 9 C3×C3 4 4C3
17 10 C10＝C2×C5 2 C2，C5
18 10 D5 6 5C2，C5
19 11 C11 0 ―
20 12 C12＝C3×C4 4 C2，C3，C4，C6
21 12 C2×C6 8 3C2，C3，D2，3C6
＝C2×C2×C3
22 12 D6＝D3×C2 12 7C2，C3，D2，C6，2D3
23 12 Q12 4 C2，C3，C4，C6
24 12 A(4)＝Ｔ12 8 3C2，4C3，D2
25 13 C13 0 ―
26 14 C14＝C2×C7 2 C2，C7
27 14 D7 8 7C2，C7
28 15 C15＝C3×C5 2 C3，C5
・ 24 Ｓ(4)＝Ｏ24 28 9Ｃ2，4Ｃ3，3Ｃ4，4Ｄ2，4Ｄ3，3Ｄ4，Ａ(4)
--------------------- 続 く -------------------
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