例えば２０２５＝１×２０２５
＝３×６７５
＝５×４０５
＝９×２２５
＝１５×１３５
＝２５×８１
＝２７×７５
＝４５×４５
という式を元に考えると、連続する奇数の和で表す式は１×２０２５を除いた７つの式を元につくれます。（２０２５×
１は１個だけなので連続していないということになります。）
例えば３×６７５なら、６７５が３個と考えて６７３＋６７５＋６７７にすればいいわけです。逆は無理ですね。３が平均で６７５個ではマイナスの数が出て来てしまいます。２７×７５なら、７５が２７個、７５が平均で、その左と右に（２７－１）÷２＝１３個ずつですね。なので一番左が７５－２６＝４９で、一番右が７５＋２６＝１０１で、４９＋５１＋・・・＋９９＋１０１とすればいいわけです。４５×４５の場合は、それこそ１からに４５個目の奇数の８９まで足す式になるわけですね。
それに対して、「連続する整数の和」で表すのは、１以外の奇数の約数の個数だけ式が出来るので、上記の式は全部奇数ですから、一番上の式は１以外の奇数の約数の個数ということで１個式が出来て
（２０２５×１から１０１２＋１０１３という式が出来る）
１番下も４５×４５で１以外の奇数の約数の個数は１個なので、式は１つですね。（４５が４５個より２３＋・・・６７という式ができる。（真ん中が４５で左と右に２２個ずつ並ぶ）
その他の式は１以外の奇数の約数の個数が２個なので、例えば
３×６７５なら６７４＋６７５＋６７６と（３３７＋３３８と同じ答えが３つと考えて、）３３５＋３３６＋３３７＋３３８＋３３９＋３４０という２つの式が出来るわけです。
５×４０５も４０３＋・・・４０７という式と、（２０２＋２０３と同じ答えが５個と考えて）１９８＋・・・２０７という２つの式が出来るわけです。
以上は奇数×奇数の式で考えてみましたが、もっと違いがはっきりするのは偶数×奇数の式を元に考える場合で、２０１８を元に考えた時、例えば２×１００９の式からは奇数の連続する和の式は作れません。（連続する奇数の和は、和が奇数になるはずだから）これに対して、連続する整数の和の式は１以外の奇数の約数の個数なので２×１００９には奇数の約数が１個入っているので式が１つ作れるのです。１００９が２個→５０４＋５０５が２個と考えて５０３＋５０４＋５０５＋５０６というふうに。
ということでタイトルに挙げた二つについては「区別」が大事ということになりますね。
図形も相似比と面積比の区別であったり、高さが等しい図形と相似の解法の区別であったり、区別が大事という場面はたくさんあります。条件をきちんと読み込んでそれを生かした解法（補助線を必要なら引くなど）をとるように促すこの本は、そういった区別が必要な知識の整理にも役立てる本です。仕上げのこの時期の伴走者になれれば、と思います。よろしくお願いいたします。（更新前にチラッと見たら全体で４桁順位に再上昇していました。ありがとうございます<(_ _)>）
