mimeTeXZ のテスト

 

　　

自己相互作用には従来の場の理論は使えない？

量子力学は、対象系と観測者が（合理的に）分離されてないと定式化できません。
　　 http://mhotta.hatenablog.com/entry/2016/02/28/140736

＞引用
自分自身は１つの体験の記憶しかないのに、自分の脳のモニター（←対象と分離されている）上には、ある確率で実現していない他の体験の結果が現れてしまう。、、、これは明らかな矛盾である。量子力学で自分の脳を連続的にモニターしても、、、全く古典力学的振る舞いをするマクロな対象として認識されるだけである
＜
したがって、この場合　場の理論も定式化できません。

これは、測定を相互作用として考えると、自分自身に対しては　必ず１つの結果の記録しかないからのようです。
ということは、一般のユニタリな相互作用であっても、自己相互作用なら、同じことが言えるはずで、

分離された対象系での結果は、複数の状態の重ね合わせ＝純粋状態だが、ある粒子から見た自身の世界線は、わからないだけで、必ず１つの世界線を辿る＝混合状態　ということです。

であれば、自己相互作用には、純粋状態の場の理論は使えず、混合状態に対する場の理論を使う必要があります。

混合状態に対する場の理論とは、どういうものであるかは　わかりませんが、

量子力学の場合なら、

運動量がいくつかの値の場合の混合状態では、位置ｘについては、

ψ(ｘ)＝c1 exp( ik1 x)＋ c2 exp( ik2 x)＋、、、

でなく、位置の状態は、波動関数の重ね合わせでは表わせません。

ひょっとしたら、従来の場の理論で、計算結果が発散するので、∞－∞＝測定値　としていたケースに、ちゃんとした答えが出せるかも？と思うのですが、、、

どうでしょうか？

物理量とその相補量の波動関数はフーリエ変換の関係にある証明

「物理量とその相補量の波動関数は、フーリエ変換・逆フーリエ変換の関係にある」

ことを、証明します。

相補量とは、その物理量と正準交換関係にある物理量のことです。

|ψ> を状態ベクトルとし、|q><q|をｑの固有状態への射影とすると

物理量qの波動関数ψ(q)の定義は、

ψ(q)|q> = |q><q|ψ>

また、別の物理量ｐの波動関数ψ(ｐ)の定義は、

ψ(p)|p> = |p><p|ψ>

射影をすべて足し合わせると元の|ψ> ですから

|ψ> =∫ |p><p|ψ>dp

ψ(q) = <q|ψ>

＝ ∫<q|（|p><p|ψ>）dｐ

＝∫<q|p>ψ(p)dｐ

ｑとｐが正準交換関係を満たすとすると

　https://ameblo.jp/kafuka-no-ochan/entry-12511309826.html　より

これは、適当に変数変換すると、フーリエ変換であり、

ψ(p)は、ψ(q)の逆フーリエ変換になります。

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射影測定でのフォンノイマン・エントロピーの矛盾

「測定対象＋測定器＋人の脳」の系を考えると、

「人の脳」で、波動関数の収縮　が起きて

測定結果が固有状態のどれか　例えば↑か↓のどちらかが

ランダムに発現する＝混合状態

になることにより、
純粋状態で０であったフォンノイマン・エントロピーが
＞０　となり、

「人の脳」の情報が増えると言えます。

しかし、波動関数の収縮　が起きても、結果は　固有状態の１つで

これは、純粋状態です。

純粋状態のフォンノイマン・エントロピーは０です。

測定前：　重ね合わせ状態＝フォンノイマン・エントロピーは０

測定後：　フォンノイマン・エントロピーは０

（消えた固有状態 のも０）

なので、「人の脳」の情報が増えるわけない。

これは、見方を変えただけで、実態は何も変わっていませんから

矛盾です。

エンタングルド・エントロピーを考えれば、解決するとのことですが

ここでは、波動関数のΨ*Ψが確率密度なので、

測定基底に対応した波動関数のエントロピーを定義し

　　　https://ameblo.jp/kafuka-no-ochan/entry-1251131

それが、どうなるかで、考えてみます。

尚、波動関数のエントロピーは、「－Ｔr(ρlogρ)」と書けるので

混合状態では、フォンノイマン・エントロピーに一致し、

自然な拡張になっています。

１．確率一定の重ね合わせ状態Ψ(x)が、ただ１つの固有状態δ(x-x1)になる場合

測定前：

　　　https://ameblo.jp/kafuka-no-ochan/entry-12511310

　　　ψ(x)＝lim L→∞ 1/√L exp(ikx)

　　　ψ＊ψ＝lim L→∞ 1/L

　　　波動関数のエントロピー＝lim L→∞ log(L）＝∞

測定後：

　　　https://ameblo.jp/kafuka-no-ochan/entry-12511310

　　　ψ＊ψ＝δ(x-x1)

　　　波動関数のエントロピー＝log( π)

２．電子のスピンの↑↓の重ね合わせ状態が、１つの固有状態↑になる場合

測定前：

　　　https://ameblo.jp/kafuka-no-ochan/entry-12511310

　　　固有状態１：　　　|ψ1> = (1, 0) /√2

　　　固有状態２：　　　|ψ2> = (0, 1) /√2

　　　S＝－Σ_n　<ψn|ψn> log( <ψn|ψn> )

　　　＝log(2)

測定後：

　　　https://ameblo.jp/kafuka-no-ochan/entry-12511310

　　　固有状態：　　　　|ψ1> = (1, 0)

　　　S＝－Σ_n　<ψn|ψn> log( <ψn|ψn> )

　　　＝０

うーん。どうもおかしい

（続）

自己保持回路をシュレーディンガ方程式で解く

「測定対象＋測定器＋人の脳」の系を考えると、

「人の脳」で、波動関数（固有状態）の収縮　が起きて

測定結果が固有状態のどれか　例えば↑か↓のどちらかが

ランダムに発現する＝混合状態

になることにより、
純粋状態で０であったフォンノイマン・エントロピーが
＞０　となり、
「人の脳」の情報が増えます＝「人が観測した」と言える。
この一連の記事では「測定器＋ある種のオートマトン」でも同様に、
波動関数の収縮が起きるかどうか、
混合状態になって「このオートマトン」の情報が増えるかどうか
を検討しています。

ここでは、オートマトンの要素である自己保持回路では、
シュレーディンガ方程式の解はどうなるか？ 非ユニタリ発展するか？
シュレーディンガ方程式は、ユニタリ発展を記述するものですから、
トンデモのようですが、再帰を含めば、、、で考えてみます。

自己保持回路（電磁リレーを使ったもの）
　  　　

　　電磁誘導は、十分小さくて波動関数に影響を与えないとします。
　　自己保持回路のOutputは、回路自体の電流とし
　　自己保持回路のInputであるSWを磁石にして
　　前段のOutputで磁界を作って、押すか引っ張るかにします。
　　したがって、この回路１個だけでは、↑か↓の一方しか測定できません
　　（他方は、初期状態と区別がつきません）

これをシュレーディンガ方程式で解析します。
この系は多粒子系ですが、相互作用がなくψ(x,t)が
粒子１個の場合と同じとします。

測定対象は　電子eのスピンの↑↓
その磁界の増幅器をSとし、そのOutputの磁界でSWを入れられるようにします
スピンが↑ならON、↓でも初期状態|0>でもOFF
（↓と初期状態が同じということは、測定値を一部捨てているわけです）

電源電圧をVc、
リレーの反応に要する時間をΔtとします。

初期状態（SWオフ）の時t＝0
　　V=∞
増幅器Sを電子eにあてた時ｔ＝t0 からΔtより十分長くあてるとします。
　　SWオン＝｜↑e> の場合
　　　　リレーオン
　　　　V＝eVc
　　SWそのまま（オフ）＝｜↓e> の場合
　　　　V=∞
　（この重ね合わせ）
増幅器Sを電子eから離した時ｔ＝t1 で
　　SWオフになる
　　リレーオンだった場合
　　　　V＝eVc
　　リレーオフの場合
　　　　V=∞
したがって、シュレーディンガ方程式は

V∞を非常に大きな値とすると、

・SWオン＝｜↑e> の場合
　　　
　　　式1　Eψ = 1/2m P^2ψ + V1ψ

・SWそのまま（オフ）＝｜↓e> の場合
　　　
　　　式2　Eψ = 1/2m P^2ψ + V2ψ

の２つのポテンシャルの重ね合わせになります。
式1 は、非線形方程式ですが、時間を区切って扱えば
線形になると思います。
（続）