『物理量とその相補量の波動関数はフーリエ変換の関係にある証明』

「物理量とその相補量の波動関数は、フーリエ変換・逆フーリエ変換の関係にある」

ことを、証明します。

相補量とは、その物理量と正準交換関係にある物理量のことです。

|ψ> を状態ベクトルとし、|q><q|をｑの固有状態への射影とすると

物理量qの波動関数ψ(q)の定義は、

ψ(q)|q> = |q><q|ψ>

また、別の物理量ｐの波動関数ψ(ｐ)の定義は、

ψ(p)|p> = |p><p|ψ>

射影をすべて足し合わせると元の|ψ> ですから

|ψ> =∫ |p><p|ψ>dp

ψ(q) = <q|ψ>

＝ ∫<q|（|p><p|ψ>）dｐ

＝∫<q|p>ψ(p)dｐ

ｑとｐが正準交換関係を満たすとすると

これは、適当に変数変換すると、フーリエ変換であり、

ψ(p)は、ψ(q)の逆フーリエ変換になります。

墓所です　(昔の記念に置いてます。信憑性なし)