純粋状態のエントロピー？（δ関数とか）

純粋状態の系のフォンノイマン・エントロピーは、０　です。
しかし、量子系を古典的情報源と見ると、波動関数に対応したエントロピーが計算できます。

https://ameblo.jp/kafuka-no-ochan/entry-12511310660.html

１．粒子の存在確率が、位置ｘによらず一定の時
ψ(x)＝Aexp(ikx)　とおくと

このままでは規格化できないので、十分広い波束と考えて規格化します。

∫ψ＊ψdx＝∫A^2dx＝A^2ｘ＝A^2L＝１

∴　ψ(x)＝1/√L exp(ikx)　

ψ＊ψは確率密度なので、dxを掛けたものが確率
したがって、このエントロピーＳは
Ｓ＝－∫ψ＊ψlog(ψ＊ψ)dx
＝－∫1/L log(1/L）dx
＝1/L log(L） L/2 - (- 1/L log(L） L/2)
＝log(L）
→ ∞

２．粒子がｘ軸上の１点にある時
ψ＊ψ＝δ(x-x1)

このエントロピーＳは　　　　
Ｓ＝－∫ψ＊ψlog(ψ＊ψ)dx　　　　

x-x1を改めてｘと置き

Lim L→∞　δ(x）＝sin(x/L)/πx　とすると

S＝－∫δ(x）log( sin(x/L)/πx )dx

＝－log( sin(０/L)/π０ )

＝Lim Δx→０　－log( sin(Δx/L)/πΔx )

Lim L→∞　＝－log( sin(Δx/L)/Δx）＋log( π)

＝log( π)

３．電子のスピンが↑↓の重ね合わせ状態の時

　　　|ψ1> = (1, 0) /√2

　　　|ψ2> = (0, 1) /√2

　　　<ψ1|ψ1> = 1/2 = <ψ2|ψ2>

S＝－Σ_n　<ψn|ψn> log( <ψn|ψn> )

＝1/2 log(2) + 1/2 log(2)

＝log(2)

４．電子のスピンが、１つの固有状態↑の時

　　　|ψ1> = (1, 0)

　　　<ψ1|ψ1> =１

S＝－Σ_n　<ψn|ψn> log( <ψn|ψn> )

＝log(1)

＝０