文献： Ilia Itenberg著,
Curves of degree 6 with one nondegenerate double point
and groups of monodromy of nonsingular curves,
Lecture Notes in Math., 1524, 267--288, 1992.
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この論文の前半は，記述が直観的な部分があって読みにくいので，後半の，K3曲面の周期領域を用いた議論 （2. The reduction to a problem on K3-surfaces）を先に読むほうがよい．この論文のアプローチは，V.V. Nikulinの real lattice polarized K3 surfacesのモジュライの研究(1983) のrank=2 の１例 (S = <2>+<-2>)となっている．ただし，markingの際に<2>, <-2> の各生成元についても指定していることに注意．
Itenberg氏本人によれば，この研究の詳細は彼のthesis（ロシア語）に書かれてあり，同様の研究方法が，Degtyarev-Itenberg-Kharlamov書： Real Enriques surfaces (L.N. in Math) において解説されているので参照とのこと．
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p.280
LをK3格子とし，φはL上の格子の対合， h', δ' ∊ L，h'^2 = 2, δ'^2 = -2, h'・δ' =0 とする．
isometry class (L, φ, h', δ') を先に与え、固定しておく．
L x C の元ω≠0で，
ω・ω=0，ω・\overline{ω}>0，ω・h'=0，ω・δ'=0，φ(ω)=\overline{ω}
なるもの全体を考える．
この空間をR^xで割った商空間を Ω とおく．
ここで，R^xで割る前の空間を考えてみよう．
ω = (ω_+, ω_-)
と表すと，(ω_+, ω_-) は，L_+ x R と L_{-, h, δ} x R の直和 に属する．
L_+ x R と L_{-, h, δ} x R の直和は，後半の条件：
ω・h'=0，ω・δ'=0，φ(ω)=\overline{ω}
で定義される実ベクトル空間である．
L_+ と L_{-, h, δ} はともにLorenzian (hyperbolicともいう)，つまり，form を対角化したときのpositive square の数が丁度１なので，前半の条件：
ω・ω=0，ω・\overline{ω}>0
を満たす(ω_+, ω_-)の全体は，４個の連結成分からなる．なぜなら，ω_+， ω_- それぞれの第１成分の正負の組合せで，正正，正負，負正，負負，の４とおりとなるからである．これをR^xで割った商空間がΩなので，Ωは丁度２個の連結成分からなる．（正正 と 正負）
さらに，(-φ)の作用を考えると，(-φ)(ω_+) = - ω_+， (-φ))(ω_-) = ω_- なので，
(-φ)の作用により，上の２つの連結成分（正正 と 正負）は移り合う．
定義 (L, φ, h', δ') の自己同型で移り合うようなΩの元は，equivalentであると呼ぶ．
(-φ)(h') = h'，(-φ)(δ') = δ'であることから，(-φ)は (L, φ, h', δ')の自己同型なので，(-φ)で移り合うΩの元はequivalent．そこで，(-φ)で移り合う元を同一視し，空間 Ω/{1, -φ} を考える． この空間は， L_+ と L_{-, h, δ} それぞれから得られる Lobachevskii spaces (
p.281
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● (one ) double point が「非退化」であることの判定法
ωがnondegenerate double pointを１つ持つ実６次曲線に対応するmarked実K3曲面（markingに注意）の周期である
⇔（必要十分）
ω・v=0，v・h'=0，v^2=-2 なる v (in L)が，δ'，-δ'のほかには存在しない．
（論文には一方向の主張のみ書いてあるように見えるが，必要十分であることが言える！）
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L_+ と L_{-, h, δ} のどちらか一方は，δ'とmod 2Lで等しい元を持たないことが容易にわかるので，
collections { Ω_+^j } と{ Ω_{-, h, δ}^i } のどちらか一方は唯１つのpolytopeからなることになる．
そこで，
Ω_*
を，
= { Ω_+^j } （L_{-, h, δ} が δ'とmod 2Lで等しい元を持たないとき）
{ Ω_{-, h, δ}^i }
（L_+ が δ'とmod 2Lで等しい元を持たないとき）
と定める．しかるに，反正則対合conj を，後者が成り立つように選ぶことができるので，結局は，
Ω_* = { Ω_{-, h, δ}^i }．
とすることができる． ようやく定理2.1を述べる：
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定理2.1. (Itenberg, p.282)
同型類(L. φ, h', δ')をひとつ固定する．
nondegenerate double pointを１つ持つ実６次曲線から決まるmarked実K3曲面 (X, conj)で，そのassociated involution (H_2(X, Z), conj_*, h, δ) が与えられた(L. φ, h', δ') にisometricであるものの全体を考える．
そのような曲線たちの rigid isotopy types は，
Ω_* に属するpolytopes （→ただし up to the automorphisms of (L. φ, h', δ')で考える） と bijective に対応する．
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