以下は，
Valery Alexeev and Viacheslav V. Nikulin,
Del Pezzo and K3 surfaces，MSJ Memoir (2006)
より，引用しました．
1849年，CayleyとSalmonは，ある非特異cubic surface Z上に，２７本のlinesを発見した．今ではそれらは，nonsingular del Pezzo surface Z of degree 3上のすべての例外曲線であることがわかっている．
ここで，del Pezzo surface Z のdegree d とは，d=(K_Z)^2 のことである．
nonsingular del Pezzo surfaces の分類はよく知られており，有理曲面の古典的な例となっている．
文献： Nagata, On rational surfaces I, II, (1960)
Manin,
Cubic forms: Algebra, geometry, arithmetic, Amsterdam 1986
Manin and Tsfasman,
Rational varieties: algebra, geometry, arithmetic,
Russ. Math. Surv. 41 (1986), no.2, 51-116.
nonsingular del Pezzo surfacesとreflection groupsの関係は，かなり昔に見出されていた．
Schoutte(1910)は，非特異3次曲面上の27本のlinesと，R^6の中のあるpolytopeの頂点たちの間に，incidence-preserving bijection があることを注意した．現在用語で言えば，このpolytopeは，reflection group W(E_6) のan orbit のconvex hull である．
Coxeter (1928)と Du Val (1933)は，degree 2 and 1 のdel Pezzo surface 上の(-1)curvesと，W(E_7)，W(E_8)のreflection polytopes の間に同様の対応があることを見つけた．
Du Val (1934a)は，reflection group と特異曲面の間の関係を最初に研究した人で，Du Val 特異点を導入した．
特異3次曲面の持ちうる特異点は，Schlaefli (1863) とCayley(1869)が分類した．
Du Val (1934b)は，surfaces of del Pezzo series of degree 2 and 1，すなわち，
２重被覆 Z_2 → P^2 ramified in a quartic，および，
２重被覆 Z_1 → Q (quadratic cone) ramified in an intersection with a cubic
上のDu Val 特異点のすべての可能なconfigulationsを見つけた．
かなり後で証明された(Demazure1980, Hidaka-Watanabe1981)ように，これらは，丁度，Gorenstein log del Pezzo surfaces of degree 2 and 1 であった．
Du Val は，次の面白い事実を観察した：
del Pezzo surfaces Z_d of degree d with Du Val singularities 上の特異点の配置は，type E_{9-d} のreflection groupの中のreflectionsで生成される部分群（すなわち，root subsystems）と，１対１に対応する．
特異点の配置が，あるreflection subgroupsに対応するという事実の現代的な解釈は，次の通りsimpleである：
「a Gorenstein del Pezzo surface Z のthe minimal resolution Y 上の(-2)curvesは，
the lattice (K_Y)^⊥（これは，type E_{9-d}のroot lattice）の中にある」
1970年代になり，Gorenstein del Pezzo surfaces と，単純楕円型特異点の変形との関わりが注目されるようになった．(Looijenga, Topology1977，Pinkham, AMS 1977, Bruce and Wall, LMS 1979)
Demazure (LN in Math 777, 1980) と Hidaka-Watanabe (Tokyo J. Math 1981) は，次の事実を確立した：
Gorenstein log del Pezzo surfaces Z_d (≠ P^1 x P^1) のthe minimal resolutions Y_d は，丁度，P^2上の"almost general position"にある(9-d)点のblowupたちであり，
Z_dは，このようなblowupたちからすべての(-2)curvesをcontractすることにより得られる．
（Du Valは，この事実に気づいていたが，現代的定義と道具がなかったので証明できなかった）