Nikulinの論文の紹介の続きです．
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定理3.10.5
Н_{n,k}(R)_{t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh}} を，
(RSK3)を満たし，不変量 (n, t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh}) をもつpolarized itentegral involution (L, φ, h) の同型類
に対応するｃoarse projective equivalence class とする．
A ∈ Н_{n,k}(R)_{t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh}} に対し，
χ（A(R)） = 2t_(-) - 18.
(t_(-), a, δ_φ) = (9, 10, 0) のとき， A(R)は空である．
そうでないとき， A(R)は空ではなく，
dimH_*(A(R); Z_2) = 24 - 2a
となる．つまり，(A, conj) は（M - a）-manifoldである．
A(R)が空でないとき，
δ_h = 0 ならば，
十分大きなある奇数mに対して，very ample linear system |mh| でAを射影空間P^Mに複素共役についてequivariantに埋め込んだとき，
Aのhyperplane sectionの実部（S^1のdisjoint union）は，H_1(A(R); Z_2)において0を代表する．またこの逆も成り立つ．
また，このことは，この埋め込みから誘導されるhomomorphism
H_1(A(R); Z_2) → H_1(P^M(R) ; Z_2)
が0であることと同値である．
δ_φ = 0 ⇔ [A(R)]=0 in H_2(A(C) ; Z_2)
δ_{φh} = 0 ⇔ [A(R)]=h (mod 2) in H_2(A(C) ; Z_2)
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注意：
最後の２つの主張は，
格子 L = H_2(A(C) ; Z) において，
[A(R)] (mod 2L) が 対合 conj_* の characteristic element であることから．
（恒等写像のcharacteristic element は，c_1(A(C))で，K3曲面の場合は0）
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定理3.10.6 (real algebraic K3 surfaces の位相型)
Н_{n,k}(R)_{t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh}} を，
(RSK3)を満たし，不変量 (n, t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh}) をもつpolarized itentegral involution (L, φ, h) の同型類
に対応するｃoarse projective equivalence class とする．
A ∈ Н_{n,k}(R)_{t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh}} に対し，
A(R)は空または，orientableな（非連結かも知れない）閉曲面であり，
その位相型は，
空集合 if (t_(-), a, δ_φ) = (9, 10, 0)
２つのトーラスのdisjoint union if (t_(-), a, δ_φ) = (9, 8, 0)
Σ_g ∪ k S^2 （残りの場合），
ここで， g = (21 - t_(-) - a)/2， k = (1 + t_(-) -a)/2
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注意：
反シンプレクティック正則対合(anti-symplectic holomorphic involution)を持つK3曲面 （2-elementary K3 surfaces）
(X, τ)
の場合も，τの不動点集合は，空集合またはX上の複素曲線となり，
その位相型（genus と P^1の数が重要）は，
対合付き格子
(H_2(X, Z), τ_*)
の不変量
(t_(-), a, δ_φ)
をpolarized integral involution の場合と同様に定めることにより，
上の定理3.10.6と全く同様に，
空集合 if (t_(-), a, δ_φ) = (9, 10, 0)
２つのトーラスのdisjoint union if (t_(-), a, δ_φ) = (9, 8, 0)
genus g の曲線 ∪ k P^1 （残りの場合），
ここで， g = (21 - t_(-) - a)/2， k = (1 + t_(-) -a)/2
となる
(V.V. Nikulin,
Factor groups of groups of automorphisms of hyperbolic forms with respect to subgroups
generated by 2-reflections,
J. Soviet Math. 22 (1983), 1401--1476. を参照）