頂点が原点以外にある二次関数の変域

履修学年：高校1年

「頂点が原点にある二次関数の変域」の続きです。

今までの記事で、全ての二次関数は「放物線の形」、「頂点」、「軸」をそれぞれ特定することができ、その為に「平方完成」をすることをご紹介致しました。
平方完成がまだ自信がない場合は、「恒等式の考え方を利用した平方完成」でご確認ください！！

この平方完成を利用した頂点の求め方につきましては、「頂点が原点以外にある二次関数のグラフ(2)」でご確認ください！！

本題では、頂点が原点以外にある二次関数でも、xの範囲を定めればyの範囲も伴って定まることをご説明致します。






何の為に平方完成をするか、把握できましたね？
そうです！！そのままでは、二次関数の変化の様子がはっきりしません。
二次関数は、頂点（軸）を境にして、
減少が増加に転じる（a＞0の場合）もしくは増加が減少に転じる（a＜0の場合）性質があります。
ならば、その軸はどこなのか？
そんな時に、平方完成が役に立つのです！！

ところでこの変域と頂点は、問題によっては文字で表されている場合もあります。
それでは、本題で言及した「変域と軸の位置関係」がはっきりしませんね。
これは、場合分けもやむを得ません。
文字に該当する値がいくつになるかによって、「変域と軸の位置関係」がまちまちですからね。

このような問題につきましても、リクエストがございましたら、追って解説をアップロード致します。

二等辺三角形の性質と補助線の利用

履修学年：なし
（発想次第で中学2年で履修する数学の範囲で解答可能です。）

図形の問題は、補助線の引き方一つで一気にわかりやすくなってしまいます！！
平行線・延長線・等辺など、補助線の引き方はいろいろありますね。

本題では、等辺をなす補助線を活用して、二等辺三角形を作ってしまおうということです。





この問題「ラングレーの問題」と言って、数学の専門家の間では有名な問題なのです。
本題でご紹介いたした解法の他にも、いろいろ手順を変えることはできそうですね。

別解につきまして、リクエストがございました場合、追って解説をアップロード致します。

頂点が原点にある二次関数の変域

履修学年：中学3年

「比例・反比例・一次関数・二次関数」のうち、二次関数の分野の続きです。

中学校で履修する関数のうち、二次関数が他の関数と比べて厄介に感じる理由は、
xの変化に伴うyの変化の様子が、把握し難い所にあります。

具体的には、原点の周りの「Uターンの形」のせいで、
一方的に増加・減少を続けているという保証が得られない所です。

そしてこれは、本題でご紹介する「変域」の分野で、更に複雑に機能(？)するのです。

二次関数の式と、そのxの変域（問題のルールとして、xが取る値を制限したもの）によって、
一方的に増加を続けているかもしれませんし、一方的に減少を続けているかもしれませんし、
あるいは途中で「Uターン」をするかもしれませんね。

しかし！！
「左右対称」(y軸について対称)という特徴を、よく見てみましょう！！
凹凸のピーク（放物線の「頂点」と言います。）から遠ざかれば遠ざかるほど、
グラフが高い所に上がっていってしまいますね。

そうなんです！！
「Uターン」をするところはただ1ヶ所だけ、
「頂点」（本題の場合は、すなわち原点）だけなのです！！

これを把握していれば、定められた変域における変化の様子も把握しやすくなりますね！！

具体的には、xの変域のうち、「原点から最も近い点と最も遠い点を探してみよう」ということです。
なので、xの変域に「原点」が含まれていれば、そこがyの変域（最大・最小）に関わると断定できるのです！！





本題では、中学校で履修することを想定して「変域」と表記致しましたが、
高校で履修する二次関数(頂点が原点以外にある二次関数)では、
xの変域を「定義域」、これを決めた結果伴って決まるyの変域を「値域」と言います。

二次関数の頂点が原点以外にある場合（具体的には、「頂点が原点以外にある二次関数のグラフ」でご確認ください。）も、同様の要領で定義域に伴う値域を求めることができるのです。
具体的には、追って解説をアップロード致します。