「一定の速さで運動する場合は、道のりが時間に比例する」ということは「比例・反比例の利用」でわずかながらご紹介致しました！！
これが斜面や空中を落下する場合はそうもいかないのです。
本題でご紹介の通り、二次関数の関係をなすのです！！
このようなことが起きる理由をちょっとだけ説明致しますね。
物理に「慣性の法則」というものがあり、この慣性の法則から、一定の速度で運動する（もしくは、運動せず静止する）ということは、その物体は運動する方向に力がはたらいていない、あるいははたらく力がつり合っていることがわかります。
なので、「水平な道を一定の速さで運動している」ということは、その物体は「運動する向きに力を受けていない」と解釈できるのですね。
ところが、運動する方向に力がはたらいている場合は、その力によって速さが変わってしまうのです！！
これは、運動方程式F＝maと表現されるもので、Fは物体が運動する向きにはたらく力の大きさ、mは物体の質量、aは物体の速度が変わるペース（物理用語で「加速度」といいます。）を示し、これが「運動する方向にはたらく力の大きさによって、速さが変わるペースが定まる」ことを説明しているのです！！
この加速度によって、二次関数の比例定数aが定まるのですが、「運動する方向にはたらく力の大きさ」の計算方法は高校物理の範囲になってしまいますので、本題では最低限のご説明に留めさせていただきますが、運動方程式「F＝ma」や「加速度が存在する運動の時間と位置の関係」につきましては、追って高校物理のテーマで解説をアップロード致します。