※ 「2^(n+1)」と表記されているものは、「2のn+1乗」を意味します。
解答作成日：2015年4月21日
テーマ：同一自然数の積と和の大小判定
履修学年：なし
【難問注意！！】
このままでは何もできそうにありませんね。
「命題の証明（対偶の利用）」でご紹介した方法で、何とかわかりやすくなればいいのですが…。
元の命題「2^(n+1)個の自然数の和と積が等しい時、少なくとも2^n個は1であることを証明せよ。」
↓
対偶「2^(n+1)個の自然数に存在する1が2^n個未満である時、この自然数の和と積は等しくならないことを証明せよ。」
まだちょっと手ごわそうですが、何とかなりそうですね。
2^(n+1)個と言っているからには、2個1組のペアを2^n組作れるのでは？
そして、その2個の自然数がいくつかによって、積と和の差が見積もれる…。
これです！！
2個1組の自然数のペアについて、積と和の差がいくつになるか、
その可能性をすべて検証しながら「自然数の結合」を(n+1)回繰り返した結果、
2^(n+1)個の自然数を「結合」したものができて、これと元の自然数の和が、
決して一致しないことを証明したということです。
この場合は、具体的にいくつ差が出るかわからないのは仕方ありません。
「少なくとも、一致しない」ということで、最低限の証明は成り立っておりますので、
その点はアバウトもやむなしです。
最終的に1個のまとまりにする過程で、1回の「結合」ごとにどれだけ差異が生じ得るか、
これをしっかり記録しておきましょう！！