※ 履修するのは「二次方程式の解と係数の関係」のみですが、「三次方程式の解と係数の関係」も発想次第で数学Ⅱの範囲で解答可能です。
「虚数と複素数の定義と基本的性質の利用」及び「虚数解を持つ高次方程式」の続きです。
中学3年で履修する右辺が0の二次方程式で、左辺を因数分解して2つの解を求める方法をやりましたね。
中学3年の範囲では、「整数の範囲で因数分解できなかったら、解の公式を使ってしまおう」というアルゴリズムが一般的です。
しかし、この因数分解を使う方法、2つの()の右側に入る数が「整数」でなくとも、大丈夫なのです！！
つまりは、分数が入っても、√を伴う無理数が入っても、虚数が入っても、大丈夫なのです！！
そして、2つの()の右側に入る数の正負を逆にした値が、いずれかの因数すなわち、いずれかの()の中を0にするので「解」と見なせるのです。
だから2解を持つとき、たとえそれがどんな数であろうがx＝p,qとおくことで、(x－p)(x－q)＝0と表せるのです。
三次方程式も全く同じ要領で、3解がどんな数であろうがx＝p,q,rとおくことで、(x－p)(x－q)(x－r)＝0と表せて、恒等性を考えればいいのですね。
3因数の展開は少し面倒かもしれませんが、展開というよりは、次数の整理です。
最後に、「虚数解を持つ場合、その個数は必ず偶数になる」ことを知っておきましょう。
その解となる虚数と、共役な虚数も必ず解になるからですね。
これは知っていると有利になりますよ！！