※ 「n^5」と表記されているものは、「nの5乗」を意味します。
解答作成日：2015年3月9日
テーマ：整数の性質・合同式の利用・因数分解
履修学年：高校1年
5次式の性質の証明ですが、共通因数nをくくり出した後の複2次式をどう扱うかによって、流れが異なってきます。
まずは、最もオーソドックスな方法です。
3つの連続する自然数が偶数となることは、学校で履修しなくても、単純に考えれば明らかですね。
あとは、どの「因数が5の倍数になるか」が、nを5で割った余りによって異なりますが、必ずどれかが「5の倍数」になることが導出できます。
解説にある、n≡3(mod5)というのは、「合同式」と言って「nを5で割った余りは、3を5で割った余りと一致する」ことを意味します。
この場合、安直な言い方で「nは5で割ると3余る数」ですね。
この表現を知っていると、「文字を使った整数の表し方」のように、わざわざ「商をmとする」なんて、煩わしい手順から解放されます。
続いては、煩わしい「場合分け」がいらなくなる方法です。
3つの連続する自然数が偶数となる考え方を利用すると、5つの連続する整数には必ず「5の倍数」が存在します。
これは、実に心強い情報ですね。
変形の仕方がいささか強引ではありますが、この方法で5つの連続する整数を作れればしめたものです！！
しかも、それ以外の部分も、自明に5の倍数とわかりますからね。