今日はまず、次の証明を見てみてください
Ａ＝Ｂと定義します
この式を変形していきます
Ａ＝Ｂ
Ａ×Ｂ＝Ｂ×Ｂ ←両辺にＢを掛ける
Ａ×Ｂ－Ａ×Ａ＝Ｂ×Ｂ－Ａ×Ａ ←両辺からＡ×Ａを引く
（Ｂ－Ａ）×Ａ＝（Ｂ－Ａ）×（Ｂ＋Ａ） ←因数分解
Ａ＝Ｂ＋Ａ ←両辺を（Ｂ－Ａ）で割る
Ａ＝Ａ＋Ａ ←Ａ＝Ｂより
Ａ＝２Ａ
１＝２ ←両辺Ａで割る
いかがでしょうか？
中学生でも十分理解できる式変形のみで１＝２を証明しました
しかし、もちろんこれはウソの証明です
もし本当に１＝２が成り立ってしまえばこの世のありとあらゆる常識が覆されてしまいます
では上の証明にはどんな間違いがあるのでしょうか？
答えは後ほど・・・
また、答えが分かった方はなぜそのような操作をしてはいけないのか、小学校高学年の子供にも分かる説明ができるでしょうか？
さて！ 記念すべき最初の話題に選んだのはマイナス１の二乗のお話です。
※マイナス１の二乗をこれ以降は （-1)^2 と表します
(-1)^2＝+1 という事実は少なくとも中学２年生以上の人は当たり前のように知っているものです
しかし、このことを皆さんは中学１年生に対して証明できる、もしくは説明できるでしょうか
もともと掛け算は「２個入りのリンゴの袋が３袋あったら全部でリンゴは６個ある」というふうに使われます
同じように負の掛け算の場合でも文章を作ってみましょう
「毎分浴槽に２リットルお湯が溜まっていっている。今から－３分の段階では今よりお湯は何リットル多いまたは少ないか」
無理やり負の符号が入った文章題を作りましたが、この文章を見ればマイナスの意味も分かると思います
この文章題の中のマイナスは当然時間的な過去を表しています
つまり、この問題の答えは２×(－３)＝－６ で６リットル少ない（今よりもマイナス）ということになります
さて、ここで本題のマイナス×マイナスの話に入っていきましょう
さきほどの例題とほとんど同じものをもってきます
「毎分浴槽に－２リットルお湯が溜まっていっている。今から－３分の段階では今よりお湯は何リットル多いまたは少ないか」
こうなるとこれを初めて習う中学生の中にはポカンとしてしまう生徒が出てきます
しかし言い換えればこの文章は次と同じことを言っているに過ぎないのです
「毎分浴槽からお湯が２リットル抜けていっている。今から３分前の段階では今よりお湯は何リットル多いまたは少ないか」
中学生に限らず、数学ができる人できない人の違いはこの‘翻訳’を頭で瞬時にできるかできないかだと私は思っています
ここまで説明してあげると多くの中学生は納得をしてくれます
しかし、本当にこれでマイナス×マイナスのことが分かったといえるのでしょうか
答えはノーです
確かに中学１年生にこれ以上のことを話しても余計な混乱を招くだけです
ただ、ここではより論理的かつ万人が納得のいく説明をしていきましょう
ちなみに、数学に出てくる様々な法則や規則は全て簡単な定義や規則によって作られています
つまり逆に言えばどんなに難しい公式や理論も極々簡単な基礎的事実のみで証明できるのです（まぁそれは後々別の機会にお話しましょう）
ではここで(－１)^２を答えが分からないものとしましょう。仮にその答えをＡと置きます
つまりこんな式が成り立ちます (－１)^２＝Ａ
ここから式を徐々に変化させていきます。 ※ものすごく丁寧にやります
(－１)^２＝Ａ
(－１)×(－１)＝Ａ
(－１)×(１－２)＝Ａ
(－１)×１＋(－１)×(－２)＝Ａ ←分配法則より
－１＋(－１)×(－１)×２＝Ａ ←－２を分解
－１＋(－１)^２×２＝Ａ
－１＋Ａ×２＝Ａ ←(－１)^２＝Ａより
－１＋２Ａ＝Ａ
２Ａ－Ａ＝１ ←－１とＡを移項
Ａ＝１
以上でＡ＝１と出たので、つまりは(－１)^２＝１ということがきちんと数学的に証明されました
いかがですか？
やっていることは全然難しいことではありません
ただ、中学では文字式を習う前にこれがでてきてしまうのできちんとした証明がされないままなんとなく分かったつもりで過ぎていきます
これが中学で数学を嫌いになる人が多い一つの理由だと思います
生徒の「なぜ？」を摘み取ってから次の単元に・・・という教え方をしてもらいたいものです
ひとまず今日はこれくらにしておきましょう
長文読んでいただいた方ありがとうございました！
次回以降もこんな感じで記事をあげていきたいと思います
では！
※マイナス１の二乗をこれ以降は （-1)^2 と表します
(-1)^2＝+1 という事実は少なくとも中学２年生以上の人は当たり前のように知っているものです
しかし、このことを皆さんは中学１年生に対して証明できる、もしくは説明できるでしょうか
もともと掛け算は「２個入りのリンゴの袋が３袋あったら全部でリンゴは６個ある」というふうに使われます
同じように負の掛け算の場合でも文章を作ってみましょう
「毎分浴槽に２リットルお湯が溜まっていっている。今から－３分の段階では今よりお湯は何リットル多いまたは少ないか」
無理やり負の符号が入った文章題を作りましたが、この文章を見ればマイナスの意味も分かると思います
この文章題の中のマイナスは当然時間的な過去を表しています
つまり、この問題の答えは２×(－３)＝－６ で６リットル少ない（今よりもマイナス）ということになります
さて、ここで本題のマイナス×マイナスの話に入っていきましょう
さきほどの例題とほとんど同じものをもってきます
「毎分浴槽に－２リットルお湯が溜まっていっている。今から－３分の段階では今よりお湯は何リットル多いまたは少ないか」
こうなるとこれを初めて習う中学生の中にはポカンとしてしまう生徒が出てきます
しかし言い換えればこの文章は次と同じことを言っているに過ぎないのです
「毎分浴槽からお湯が２リットル抜けていっている。今から３分前の段階では今よりお湯は何リットル多いまたは少ないか」
中学生に限らず、数学ができる人できない人の違いはこの‘翻訳’を頭で瞬時にできるかできないかだと私は思っています
ここまで説明してあげると多くの中学生は納得をしてくれます
しかし、本当にこれでマイナス×マイナスのことが分かったといえるのでしょうか
答えはノーです
確かに中学１年生にこれ以上のことを話しても余計な混乱を招くだけです
ただ、ここではより論理的かつ万人が納得のいく説明をしていきましょう
ちなみに、数学に出てくる様々な法則や規則は全て簡単な定義や規則によって作られています
つまり逆に言えばどんなに難しい公式や理論も極々簡単な基礎的事実のみで証明できるのです（まぁそれは後々別の機会にお話しましょう）
ではここで(－１)^２を答えが分からないものとしましょう。仮にその答えをＡと置きます
つまりこんな式が成り立ちます (－１)^２＝Ａ
ここから式を徐々に変化させていきます。 ※ものすごく丁寧にやります
(－１)^２＝Ａ
(－１)×(－１)＝Ａ
(－１)×(１－２)＝Ａ
(－１)×１＋(－１)×(－２)＝Ａ ←分配法則より
－１＋(－１)×(－１)×２＝Ａ ←－２を分解
－１＋(－１)^２×２＝Ａ
－１＋Ａ×２＝Ａ ←(－１)^２＝Ａより
－１＋２Ａ＝Ａ
２Ａ－Ａ＝１ ←－１とＡを移項
Ａ＝１
以上でＡ＝１と出たので、つまりは(－１)^２＝１ということがきちんと数学的に証明されました
いかがですか？
やっていることは全然難しいことではありません
ただ、中学では文字式を習う前にこれがでてきてしまうのできちんとした証明がされないままなんとなく分かったつもりで過ぎていきます
これが中学で数学を嫌いになる人が多い一つの理由だと思います
生徒の「なぜ？」を摘み取ってから次の単元に・・・という教え方をしてもらいたいものです
ひとまず今日はこれくらにしておきましょう
長文読んでいただいた方ありがとうございました！
次回以降もこんな感じで記事をあげていきたいと思います
では！
皆さんこんにちは！
ホリホリと申します
このブログでは数学をなるべく分かりやすく、楽しく、面白く解説できればいいなと思っています
基本的には高校生くらい以上の年齢の方には理解できる説明の仕方でいきたいと思います
もちろん中学生の範囲を扱うときは中学生でも分かるようになる・・・はずです！
ちなみに僕は数学の教員を目指しておりますので将来数学を自分でまとめたようなものが欲しいからブログという形でやっていこうと思った次第ですのであまり過度な期待はしないでください。
というわけで今日からマイペースにやっていこうと思いまーす！
ホリホリと申します
このブログでは数学をなるべく分かりやすく、楽しく、面白く解説できればいいなと思っています
基本的には高校生くらい以上の年齢の方には理解できる説明の仕方でいきたいと思います
もちろん中学生の範囲を扱うときは中学生でも分かるようになる・・・はずです！
ちなみに僕は数学の教員を目指しておりますので将来数学を自分でまとめたようなものが欲しいからブログという形でやっていこうと思った次第ですのであまり過度な期待はしないでください。
というわけで今日からマイペースにやっていこうと思いまーす！