すみません
いろいろ課題に追われているために、前回の更新から一週間空いてしまいました。
６月、７月はこんな感じの更新頻度になってしまうと思います
さて、前回の宿題の答えです
「∀ε＞０、 ∃Ｎ；｜Ａｎ－α｜＜ε、∀ｎ＞Ｎ」
これは何の定義でしょうかという問題でした
まずはこれを日本語に「翻訳」してみましょう
「任意の正の数εに対して、あるＮが存在して、Ｎよりも大きい任意の番号ｎに対して｜Ａｎ－α｜＜εが成り立つ」
となります
任意の正の数εということは誰でも好き勝手に数を決めて良いということであるので、限りなく０に近い数でも良いということを抑えましょう
Ａｎは数列であるので、ある程度大きい数であるＮよりも大きいｎ、つまり数列の第ｎ項目以降は｜Ａｎ－α｜＜εが成り立つということになります
そろそろお分かりになった方もいると思います
結論を言うと、これは数列Ａｎがαに収束することの定義です
εは限りなく０に近いので数列Ａｎの項数が大きくなればなるほどαに近づいていくので絶対値の中もどんどん０に近づいていくということになります
ここで疑問に思う方もいるかもしれないので、１つ言っておきます
「あるＮが存在してＮよりも大きいｎ」という文章は果たしているのかということです
もしこの文章が無い場合はどうなるのでしょうか？
この文言がないと数列の初項からこの文章が成立しなければならなくなるので、数列Ａｎは初項からどんなに項数が大きくなっていってもずっとαで一定の数列であるという意味になってしまうので注意しましょう
今日はこの辺で！
大学生レベルといっても学習するのが大学になってからというだけなので難しすぎる内容ではありません
皆さんも顔文字なんかで使ったりするこの記号「∀」
何者かご存知ですか？
実は論理数学では欠かすことのできない記号です
そしてもう一つの記号「∃」
これは決してカタカナの「よ」ではありません
れっきとした数学の記号です
スマホやパソコンでこの記号を出すには「しゅうごう」と入力するとでる場合が多いです
もしくは「すべて」、「そんざい」でもそれぞれ出てきます
記号の意味は今書いたように「∀」は「すべての」、「任意の」という意味で「∃」は「存在する」という意味です
これらの記号は主に数学の証明によく使われることが多いです
ただ、必ず使うわけではなく単に文字で「任意の自然数ｎ」や「ある実数Ａが存在する」と書く場合も多いです
ここで注意しなくてはいけないのは「∀」と「∃」は大きく意味が違うということです
例をみてみましょう
「∃Ａ∈Ｒ；Ａ＾２＋３Ａ＋２＝０」
急にわけのわからないものがでてきましたが上の例は次のようなことを言っています
「ある実数ＡでＡ＾２＋３Ａ＋２＝０となるものが存在する」
さて、この命題は真でしょうか偽でしょうか？
高校の命題と論理を学習した人なら分かるかと思いますが、答えはもちろん真（文章として成立するということ）です
では記号を「∃」から「∀」に変えてみます
「∀Ａ∈Ｒ；Ａ＾２＋３Ａ＋２＝０」 （任意の実数ＡはＡ＾２＋３Ａ＋２＝０を満たす）
しかしこの命題は偽（ありえない文章になっている）になってしまいます
もうお分かりだと思いますが、「任意の」というと自分が好き勝手に数字を選んできても良いということになります
しかし「ある～が存在する」という言い方はそういうものがあるよという風に従属的に決まっていくものなのです
もっと簡単に数学と離れた例をみてみます
「１年Ａ組の任意の生徒はスマホを持っている」
「１年Ａ組のある生徒はスマホを持っている」
これらの文章はどちらも「ありえる」文章です
しかし意味は全く違います
１つ目は１年Ａ組の中で好き勝手に生徒をチョイスしてもスマホを持っているということなので結局クラス全員がスマホを持っているという意味になります
２つ目はただ単にそういう生徒もいるよと言っているだけなので１人でもスマホを持っていれば成立する文章です
いかがだったでしょうか
では最後に１つ「宿題」です
次の「」ははどんなことをいっているのでしょうか（かなり難しいと思います）
「∀ε＞０、 ∃Ｎ；｜Ａｎ－α｜＜ε、∀ｎ＞Ｎ」
※「Ａｎ」は数列
ヒント：これはあることの定義です
皆さんも顔文字なんかで使ったりするこの記号「∀」
何者かご存知ですか？
実は論理数学では欠かすことのできない記号です
そしてもう一つの記号「∃」
これは決してカタカナの「よ」ではありません
れっきとした数学の記号です
スマホやパソコンでこの記号を出すには「しゅうごう」と入力するとでる場合が多いです
もしくは「すべて」、「そんざい」でもそれぞれ出てきます
記号の意味は今書いたように「∀」は「すべての」、「任意の」という意味で「∃」は「存在する」という意味です
これらの記号は主に数学の証明によく使われることが多いです
ただ、必ず使うわけではなく単に文字で「任意の自然数ｎ」や「ある実数Ａが存在する」と書く場合も多いです
ここで注意しなくてはいけないのは「∀」と「∃」は大きく意味が違うということです
例をみてみましょう
「∃Ａ∈Ｒ；Ａ＾２＋３Ａ＋２＝０」
急にわけのわからないものがでてきましたが上の例は次のようなことを言っています
「ある実数ＡでＡ＾２＋３Ａ＋２＝０となるものが存在する」
さて、この命題は真でしょうか偽でしょうか？
高校の命題と論理を学習した人なら分かるかと思いますが、答えはもちろん真（文章として成立するということ）です
では記号を「∃」から「∀」に変えてみます
「∀Ａ∈Ｒ；Ａ＾２＋３Ａ＋２＝０」 （任意の実数ＡはＡ＾２＋３Ａ＋２＝０を満たす）
しかしこの命題は偽（ありえない文章になっている）になってしまいます
もうお分かりだと思いますが、「任意の」というと自分が好き勝手に数字を選んできても良いということになります
しかし「ある～が存在する」という言い方はそういうものがあるよという風に従属的に決まっていくものなのです
もっと簡単に数学と離れた例をみてみます
「１年Ａ組の任意の生徒はスマホを持っている」
「１年Ａ組のある生徒はスマホを持っている」
これらの文章はどちらも「ありえる」文章です
しかし意味は全く違います
１つ目は１年Ａ組の中で好き勝手に生徒をチョイスしてもスマホを持っているということなので結局クラス全員がスマホを持っているという意味になります
２つ目はただ単にそういう生徒もいるよと言っているだけなので１人でもスマホを持っていれば成立する文章です
いかがだったでしょうか
では最後に１つ「宿題」です
次の「」ははどんなことをいっているのでしょうか（かなり難しいと思います）
「∀ε＞０、 ∃Ｎ；｜Ａｎ－α｜＜ε、∀ｎ＞Ｎ」
※「Ａｎ」は数列
ヒント：これはあることの定義です
さて、今日は軽い頭の体操をしてみましょう
まずは２４ゲームの説明をします
・２人で交互に数字を１から順番に言っていきます
・一度に言える数字は３個までです（１個や２個しか言わなくてもいいが０個はダメ）
・２４を宣言できた方の勝ちです
と、いたってシンプルなルールです
まずは家族や友達とこのゲームをしてみてください
これより下はその後に読むのをおすすめします
実際にゲームをしてみていかがだったでしょうか
何回もやるとタネが分かってしまった人も多いでしょう
タネが分かっていない人もゲームの終盤で負けが分かってしまうといった場面はありませんでしたか？
仮に相手が２０まで言ったところで自分の番が回ってきたとしましょう
この時自分は１個～３個のどの数字までを言っても相手の勝ちです
つまり、このゲームは２４ではなく２０を宣言できた方の勝ちになるのです
しかし、そればかりではありません
同じ考え方で２０から４を引いた１６を宣言できれば確実に次の自分の番のとき２０を宣言できます
もうお分かりでしょう
結局は４の倍数を自分の番で確保していければ確実に勝てるのです
つまりこのゲームは後手必勝、先手でも相手がこの必勝法に気づいてなければほぼ勝つことができてしまいます
タネが分かるとそんなことかと思うかもしれませんが、こうゆう規則性を見出せることで数学脳は鍛えられるのだろうと私は思います
ぜひ小学生のお子さんがいらっしゃる方はこのゲームをして楽しみながら勉強ができればこんなに良いことは無いと思います
では今日はこのへんで！
まずは２４ゲームの説明をします
・２人で交互に数字を１から順番に言っていきます
・一度に言える数字は３個までです（１個や２個しか言わなくてもいいが０個はダメ）
・２４を宣言できた方の勝ちです
と、いたってシンプルなルールです
まずは家族や友達とこのゲームをしてみてください
これより下はその後に読むのをおすすめします
実際にゲームをしてみていかがだったでしょうか
何回もやるとタネが分かってしまった人も多いでしょう
タネが分かっていない人もゲームの終盤で負けが分かってしまうといった場面はありませんでしたか？
仮に相手が２０まで言ったところで自分の番が回ってきたとしましょう
この時自分は１個～３個のどの数字までを言っても相手の勝ちです
つまり、このゲームは２４ではなく２０を宣言できた方の勝ちになるのです
しかし、そればかりではありません
同じ考え方で２０から４を引いた１６を宣言できれば確実に次の自分の番のとき２０を宣言できます
もうお分かりでしょう
結局は４の倍数を自分の番で確保していければ確実に勝てるのです
つまりこのゲームは後手必勝、先手でも相手がこの必勝法に気づいてなければほぼ勝つことができてしまいます
タネが分かるとそんなことかと思うかもしれませんが、こうゆう規則性を見出せることで数学脳は鍛えられるのだろうと私は思います
ぜひ小学生のお子さんがいらっしゃる方はこのゲームをして楽しみながら勉強ができればこんなに良いことは無いと思います
では今日はこのへんで！