０の０乗 （高校生レベル）

さて、ここまで２回にわたって累乗の話をしてきました


今回テーマにするのは前回の記事の通り０の０乗は何であるのかです





実はこれ先に正解を言ってしまうと「一般には定義されない」です


しかし、それだけではあまりにも面白くないので詳しく見てみることにしましょう




まず、みなさんの中で関数電卓などをお持ちの方は実際に入力してみてください


そうすると「１」と答えを出す場合が多いです


しかしそれはあくまでも便宜的なものであり、数学的必然性によって求められるものではありません


つまり簡単に言えば多くの場合０の０乗を１とすると都合が良いということです




なぜか？


順に見ていくことにします


まず、そもそもなぜ０の０乗は定義できないとされるのかということからお話していきます


前回の記事よりＡ＾０＝１（ただし今はＡは０でないとする）ということが分かっています

よって、Ａ＾０＝Ａ/Ａ＝１　が成り立ちます


しかしここでＡに０が入ることを定義しようとすると０/０という式が出てきてしまいます


０/０は解不定であることを以前の記事でやりました


つまりこのことから少なくとも０の０乗は１ではない事が分かると思います




さらにここでもう１回頭をリセットしてｙ＝ｘ＾０（ｘ＝０でないとする）のグラフを考えてみてください


当然全ての定義される区間でｘがいかなる数をとってもｙ＝１を満たします


次にｙ＝０＾ｘ（ｘ＞０とする）のグラフは定義されている全ての区間でｙ＝０となります


この２つの関数を見たときにｘ＝０のときのｙの値はなんなのでしょうか


２つのグラフは両方ともｘを０に限りなく近づけていくとｙ＝０＾０という式に限りなく近づいていきます


しかし、その答えは１と０で異なってしまうのです




こうした理由から０の０乗は一般に定義されません


では最後にｙ＝ｘ＾ｘという関数を考えてみましょう

グラフの形は上のようになります


もうお分かりですよね


ｙ＝ｘ＾ｘのｘを０に近づけるとどんどんｙの値は１に近づいていくのです


これが０の０乗を１と定義する場合が多い１つの要因でもあります


もちろんこの他にも０よりも１と定義した方がいろんな場面で都合がいいので、電卓やプログラム言語において０の０乗が１と計算されることが多いのです

今日はひとまずここまでということで


ではでは！

指数法則と０乗 （高校生以上レベル）

さて、きょうの記事は前回のつづきですので読んでない方はまずこちらを見てください


みなさん前回の「宿題」はいかがでしたでしょうか


先に答えを載せてしまいましょう










どうしてこのようになるのでしょうか



解説の前にまずは準備として指数法則を確認しておきましょう

これは数学Ⅱの教科書にも書いてあります



ではこれらを使って（１）～（４）を証明していきます


しかし（１）については問題ないところと思います


（１）は３を１回掛けるとどうなりますかと言っているので当然答えは３になります

ここで次の画像を見てください

この図で（２）、（３）の答えもだいたい理解できた方も多いのではないでしょうか



ただ、数学的な証明にはなっていないので、上の指数法則の（ａ）や（ｂ）を使って証明していきます



まずは（２）から


３＾０＝３＾（１－１）　であるので、（ｂ）から

３＾（１－１）＝３＾１/３＾１　という風に変形できます

分母分子が全く同じ数なので結局答えは１になります




次に（３）です


３＾－１＝３＾（０－１）　とできるので（ｂ）から

３＾（０－１）＝３＾０/３＾１　となりますが、（２）で３＾０＝１であったので結果的に答えは１/３になります





最後に（４）ですが、これは指数法則の（ｃ）を使います


３＾１/２を二乗してみると（ｃ）より

（３＾１/２）＾２＝３＾２/２＝３＾１＝３　となるので

３＾１/２は二乗すると３になる数ということです

それは皆さんご存知の√３です







みなさん全部できましたでしょうか？


しかし、勘のいい方は気付いたかもしれません


「０＾０」（ゼロのゼロ乗）はどうなるんだ？


「そりゃあ１でしょ」と思った方はもう少し考えてみてください




０という数字は非常に奇妙なものです

ときにその性質は我々の想像を超えてきます



今日はこれを皆さんへの宿題ということにしようと思います
（ようやく本題に入ってきました・・・・）

累乗の定義 （高校生以上レベル）

今日は明日の記事の準備編として累乗のことに関して解説していきたいと思います

一応タイトルには高校生以上レベルとしましたが、中学生でも十分に理解できる内容だと思います




累乗とは今までの記事でも扱ってきた３の２乗は９（３＾２＝９）のようなものです


しっかりと定義するならば

「Ａ＾ｎ＝Ａ×Ａ×Ａ×・・・・・・・×Ａ×Ａ×Ａ」のようになり右辺のＡの数はｎ個です


つまりＡのｎ乗とはＡをｎ個掛け合わせるということです



さて、ここで皆さんに４つ問題を解いて頂こうと思います


（１）　３＾１＝？

（２）　３＾０＝？

（３）　３＾－１＝？

（４）　３＾（１÷２）＝？

パソコン上の数式が分かりにくい人はこんな式です（いちいち下のような画像を用意するのは面倒くさいのでなるべくパソコン上の数式表示に慣れて下さい）





こんなことはもう知ってるよという理系の方々はこれらがどうしてそのような答えになるのか考えてみてください


短いですが今日はここまでということにしておきます


じっくり「宿題」を考えてみてください


累乗の話はあと２、３回に渡って続く予定です


では！