以前の記事に関連する話です。
立体図形の一行問題の第3回です。
サッカーボール（筑波大学附属2024）
サッカーボールは、正五角形と正六角形の2種類の正多角形でつくられていると考えることができます。右の図のように、サッカーボールのどこを見ても、正五角形の周りは正六角形で囲まれています。図のサッカーボールには正五角形が12面あります。このとき、正六角形は何面ありますか。計算の過程や考え方も書きなさい。
1つの正六角形に注目すると、6本ある辺のうち3本が正五角形と辺を共有しているのがわかる。
すると正六角形の辺の数について
- 正五角形と共有する辺が60本（「正五角形が12面」あるから5×12＝60より）
- 正五角形と共有しない辺が同じく60本
あるから正六角形の辺の数はぜんぶで120本
よって120÷6＝20より正六角形は20面
八面体（甲陽学院2024第2日）
右の図は立方体で、点Pと点Qはそれぞれ正方形ABCD、EFGHの対角線の交点です。四角すいPEFGHと四角すいQABCDの共通部分の体積は立方体の体積の▢倍です。ただし、四角すいPEFGHの体積は立方体の体積の⅓倍です。
まず「四角すいPEFGHと四角すいQABCDの共通部分」は次の赤のような四角すいを上下につなげた立体
このうち上半分の四角すいの体積を考える（下半分の四角すいの体積もこれと同じなので最後に2倍する）と
- 上半分の四角すいの体積は四角すいPEFGHの体積の⅛倍（辺の比1：2の相似形だから体積比1：8より）
- また「四角すいPEFGHの体積は立方体の体積の⅓倍」
- したがって上半分の四角すいの体積は立方体の体積の¹⁄₂₄倍（＝⅛×⅓）
よってこれの2倍だから共通部分の体積は立方体の体積の¹⁄₁₂倍
立方体の展開図（立教女学院2024）
図1の立方体を、図2のように展開しました。3つの文字ア、イ、ウは、どこに現れますか。図2の文字の向きに注意して、解答用紙の図に書きこみなさい。
まず「展開図がこういう形だったらすぐにわかるのに…」という理想形の正方形ABFEと正方形BCGFを図2につけ足す。これなら簡単にアとイの向きもわかる
あとは赤の辺EFと赤字アの位置関係、赤の辺FGと赤字イの位置関係に注目して、これを実際の辺EF、辺FGのある正方形に同じ形になるように移せばよい
よって
