以前の記事の続きです。
N進法との相性がいい整数問題の第3回です。
4進法（鎌倉女学院2024）
次のように、ある規則にしたがって、0，1，2，3の4つの数字を並べた数の列があります。 1，2，3，10，11，12，13，20，21，22，…，33，100，101，…
初めから数えて20番目の数は▢で、初めから数えて▢番目の数は333です。
初めから数えて20番目の数
- 「0，1，2，3の4つの数字を並べた数の列」だから4つの数字を使ってできる4進法になっている
- 4進法の20は十進法だといくつになるかをすだれ算でしらべると110
よって20番目の数▢は110
333は初めから数えて何番目か
- 4進法では右から1の位、4の位、16の位、…となるから4進法の333は十進法にすると16×3+3×4+3＝63
- そして1からはじまる十進法では（1番目が1、2番目が2のように）番目と番号は同じになるからこの333は63番目にくる数
よって333の番目▢は63
9進法 （筑波大学附属2024）
1から1000までの整数のうち、数字の4を使っていない整数は全部でいくつありますか。
「4を使っていない整数」を小さい順に1から並べたときの数の進み方は4以外の9個の数字を使った9進法となっている
- 9進法の1000は右から1の位、9の位、81の位、729の位だから（729×1+81×0+9×0+1×0＝729より）十進法で書くと729
- したがって4を使っていない整数を1から順に並べると1000は729番目にくる数
よって729個
変則7進法（東京都市大付属2024第2回）
下のように、どの位にも1、3、7があらわれない整数を2から小さい順に並べます。あとの問いに答えなさい。
2、4、5、6、8、9、20、22、24、25、26、28、29、40、…
問1 上のように並べたとき2けたの整数は何個ありますか。
- 「どの位にも1、3、7があらわれない」ということは0、2、4、5、6、8、9の7つの数字を使う7進法になっている
- ただ、ふつうの7進法（0，1，2，3，4，5，6の7つの数字を使うもの）とは使う数字がちがうのでこれを変則7進法とよぶこととする。そこでふつうの7進法との対応表をつくると
- 問題文にもどるとこのように並べたときの「2けたの整数」は22から99まで。これをふつうの7進法にすると（2→1、9→6だから）10から66まで
- そして7進法では右から1の位、7の位、49の位、343の位…となるから
- 最初の数（7進法の10）は十進法の7（＝7×1+0）
- 最後の数（7進法の66）は十進法の48（＝7×6+6）
よって（1からはじまる十進法では番目と番号は同じになるから）2けたの整数は7番目から48番目までだから（48－7+1＝）42個
問2 2024は何番目の整数ですか。
- 変則7進法の2024をふつうの7進法にすると1012（対応表より）
- 7進法の1012を十進法にすると352（＝343×1+7×1+2）
よって352番目
問3 2024番目の整数はいくつですか。
- 十進法の2024は7進法にすると5621
- 7進法の5621は変則7進法にすると8942（対応表より）
よって8942 
