以前の記事の続きです。
整数の個数を求める整数問題で、場合の数としても解けるが、N進法との相性もわるくないものとして、次のような問題が今年も出されています。
8進法（大妻2024）
1から240までの整数のうち、どの位にも4と8が使われていない整数は何個ありますか。
- 「4と8が使われていない」整数を小さい順に並べるときその並び方は4と8以外の8コの数字を使った8進法となっている
- 8進法の240は右から1の位、8の位、64の位となるから（64×2+8×4+0＝160より）10進法で書くと160
- したがって（ふだん使っている10進法では1からはじまる連続する数と順番は同じになるから）8進法の240は160番目の数。ただしこの160番目の数240にも4が入っているのでこの最後の1個は対象外となる
よって160－1＝159個
変則3進法（三田学園2024B）
1と3と5をいくつか使ってできる整数を小さいほうから並べると、次のようになります。
1, 3, 5, 11, 13, 15, 31, 33, …
このとき、3135は小さい方から数えて何番目の数字ですか。
「1と3と5」という3つの数だけ使ってできる整数だから3進法になっている。ただし、いまは変則3進法になっており、これをふつうの3進法（1, 2, 3, 11, 12, 13, 31, 32, …）にするため
という対応表を使って考える。すると
- 表より「変則3進法の3135」＝「3進法の2123」
- つぎに（数字と順番を同じにするため）これを10進法に直す。すると3進法では右から1の位、3の位、9の位、27の位だから（27×2＋9×1＋3×2＋1×3＝72より）「3進法の2123」＝「10進法の72」
よって3135は小さい方から72番目
0あり変則3進法（サレジオ2024）
次のように、0、1、3を使ってできる整数を小さい順に並べます。
0, 1, 3, 10, 11, 13, 30, 31, 33, 100, …
初めから数えて、22番目の数は［①］であり、［②］番目の数は3010です。
「0、1、3を使ってできる整数」だから3進法になっている。ただし、いまは変則3進法になっているのでふつうの3進法（0あり）
（0, 1, 2, 10, 11, 12, 30, 31, 32, 100, …）にするため
という対応表を使って考える。
①22番目の数
ふだんの数え方とちがって0が1番目になっていることに注意する。つまり知りたいのは0から数えて「22番目の数」だから1から数えて21番目の数をしらべることになる
-
すだれ算より「10進法の21」＝「3進法の210」
-
表より「3進法の210」＝「変則3進法の310」
よって①＝310
②3010になる数
変則3進法であらわされた3010を10進法であらわすとどうなるかしらべる。そして最後に順番を出すときは（0を1番目にするので①の逆で）+1する
- 表より「変則3進法の3010」＝「3進法の2010」
- 3進法の数は右から1の位、3の位、9の位、27の位だから（27×2+3×1＝57より）「3進法の2010」＝「10進法の57」
よって（57+1＝）58番目の数だから
②＝58 
