以前の記事の続きです。
整数の個数を求める整数問題で、場合の数としても解けるが、N進法との相性もわるくないものとして、次のような問題が今年も出されています。
8進法(大妻2024)
1から240までの整数のうち、どの位にも4と8が使われていない整数は何個ありますか。
- 「4と8が使われていない」整数を小さい順に並べるときその並び方は4と8以外の8コの数字を使った8進法となっている
- 8進法の240は右から1の位、8の位、64の位となるから(64×2+8×4+0=160より)10進法で書くと160
- したがって(ふだん使っている10進法では1からはじまる連続する数と順番は同じになるから)8進法の240は160番目の数。ただしこの160番目の数240にも4が入っているのでこの最後の1個は対象外となる
よって160-1=159個
変則3進法(三田学園2024B)
1と3と5をいくつか使ってできる整数を小さいほうから並べると、次のようになります。
1, 3, 5, 11, 13, 15, 31, 33, …
このとき、3135は小さい方から数えて何番目の数字ですか。
「1と3と5」という3つの数だけ使ってできる整数だから3進法になっている。ただし、いまは変則3進法になっており、これをふつうの3進法(1, 2, 3, 11, 12, 13, 31, 32, …)にするため
という対応表を使って考える。すると
- 表より「変則3進法の3135」=「3進法の2123」
- つぎに(数字と順番を同じにするため)これを10進法に直す。すると3進法では右から1の位、3の位、9の位、27の位だから(27×2+9×1+3×2+1×3=72より)「3進法の2123」=「10進法の72」
よって3135は小さい方から72番目
0あり変則3進法(サレジオ2024)
次のように、0、1、3を使ってできる整数を小さい順に並べます。
0, 1, 3, 10, 11, 13, 30, 31, 33, 100, …
初めから数えて、22番目の数は[①]であり、[②]番目の数は3010です。
「0、1、3を使ってできる整数」だから3進法になっている。ただし、いまは変則3進法になっているのでふつうの3進法(0あり)
(0, 1, 2, 10, 11, 12, 30, 31, 32, 100, …)にするため
という対応表を使って考える。
①22番目の数
ふだんの数え方とちがって0が1番目になっていることに注意する。つまり知りたいのは0から数えて「22番目の数」だから1から数えて21番目の数をしらべることになる
よって①=310
②3010になる数
変則3進法であらわされた3010を10進法であらわすとどうなるかしらべる。そして最後に順番を出すときは(0を1番目にするので①の逆で)+1する
よって(57+1=)58番目の数だから
②=58