前回の記事に関連する話です。
整数の個数を求めさせる整数問題で、N進法との相性がいいものがあります。場合の数として求めることもできる問題ですが、こちらの考え方もできるようになっておくと解法の幅が広がるし、検算目的で使うこともできます。
たとえば次のような問題です。
整数の個数①（清風南海中2022）
どこかの位に少なくとも1つ3がある整数を考えます。
① 1から100までの中に、このような整数は何個ありますか。
「少なくとも1つ3がある」ということで、その余事象である3を使わない場合を考える。
この100がもし3の数字を使っていない100だったとしたら＝3以外の9コの数字を使った9進法の100だとしたらと考える。このとき右から1の位、9の位、81の位となるので、これを十進法に直すと
81×1+9×0+1×0＝81
となり81コにへってしまう。これが「1から100まで」3を使わずに数えたときの個数なので、「少なくとも1つ3がある整数」は
100－81＝19個
② 1から1000までの中に、このような整数は何個ありますか。
同じくこれを3を使わずに数えた9進法の1000と考えると、右から1の位、9の位、81の位、729の位となるので、これを十進法に直すと729。
これが「1から1000まで」の中にある3を使わない整数の個数に等しいから、「少なくとも1つ3がある整数」は
1000－729＝271個
整数の個数②（本郷中2022）
1000から9999までの4けたの整数のうち、2025や5055のように5を含んでいる整数は何個ありますか。
やり方は同じだが、考えやすいようにひとまず1から10000までの整数について考える。
5を含まない9進法の10000を考えると、右から1の位、9の位、81の位、729の位、6561の位となるので、これを十進法に直すと6561。
つまり「5を含んでいる整数」は1から10000までの中に10000－6561＝3439コある。
一方、5を含まない9進法の1000を考えると、1から1000までの中に「5を含んでいる整数」はすでに上で求めたように271コある。
よって、1001から10000までの中に5を含んでいる整数は3439－271＝3168コある。これはその範囲を1ずつ前にずらして1000から9999までとしてもその個数は変わらないので3168個
整数の個数③（巣鴨中2022）
1から2022までの整数のうち、数字の3と7を使わない整数は何個ありますか。
「3と7を使わない」ということで、3と7以外の8コの数字を使った8進法の2022を考える。すると右から1の位、8の位、64の位、512の位となるので、これを十進法に直すと
2×512+2×8+2＝1042個 
