以前の記事の続きです。
今年出された継子立て（ままこだて）の問題です。
図のように1から92の番号が書かれたコインが左から順に一列に並んでいます。
次の操作をくり返し行い、コインの順番を入れかえます。
(操作)
一番左端(はし)にあるコインを取り除き、そのコインの右隣(どなり)にあったコインを一番右端に移動させる。
次の問いに答えなさい。（白陵2024）
⑴ 9回目の操作で取り除かれたコインに書かれた番号を答えなさい。
「1から92の番号が書かれたコインが左から順に一列に並んで」いるところから「一番左端にあるコインを取り除き、そのコインの右隣にあったコインを一番右端に移動させる」という操作をくり返すからたとえば
- 1回目の操作で1が取り除かれ2が右端に移る
- 2回目の操作で3が取り除かれ4が右端に移る
というように1回の操作をするごとに奇数のコインが取り除かれて偶数のコインが右端に移るから、8回の操作で2×8＝16番のコインが右端に移る。
よってこのとき一番左端にある番号17のコインが9回目の操作で取り除かれる
⑵ 92が書かれたコインは何回目の操作で取り除かれますか。
残るコインだけしらべていくと
- 1周目の46回の操作で偶数のコインが残る。
- 2周目の23回の操作で4の倍数のコインが残る。つまりこの時点で残ったコインは4、8、…、88、92の23枚。
- 3周目の11回の操作で8の倍数のコイン11枚（8、16、…、88）が残り、12回目の操作で92が取り除かれる。
よって 46+23+12＝81回目
⑶ 並んでいるコインが2枚になったとき、残った2枚に書かれた番号を左から順に答えなさい。
小問⑵の続きをしらべていくと
- 3周目の12回目の操作で（92が取り除かれるのと同時に）8が右端に移る（ここで規則性が変わる）。この時点で残るコインは16、24、32、40、48、56、64、72、80、88、8の11枚
- つぎの6回の操作で奇数番目にあるコイン6枚（16、32、48、64、80、8）が取り除かれる。そして8が取り除かれるのと同時に（そのとき右隣にあった）24が右端に移るから残るコインは40、56、72、88、24の5枚
- つぎの3回の操作で奇数番目にあるコイン3枚（40、72、24）が取り除かれる。そして24が取り除かれるのと同時に（そのとき右隣にあった）56が右端に移る
よって残った2枚に書かれた番号は左から順に 88、56 
