以前の記事の続きです。
今年出された数の性質の問題です。
その1（立教新座2024）
4つの異なる整数A、B、C、Dがあります。これらの整数のうち異なる2つをたすと全部で6つの数ができますが、この6つの数の中に同じ数があったので、できた数は10、13、15、17、20の5種類でした。4つの整数A、B、C、Dの積を求めなさい。
「4つの異なる整数A、B、C、D」を小さい順にア、イ、ウ、エとする。「異なる2つをたすと…できた数は10、13、15、17、20の5種類」だったから
- ア+イ＝10、ア+ウ＝13、イ+エ＝17、ウ+エ＝20がまず決まり、ここからイとウの差は3がわかる
- 本来できるはずの「6つの数の中に同じ数があった」ということだがそうなる数は「ア+エ」と「イ+ウ」しかないから ア+エ＝15、イ+ウ＝15も決まる
- イとウの差が3、和が15より イ＝(15－3)÷2＝6、ウ＝イ+3＝9。ア＝10－イ＝4、エ＝20－ウ＝11と4つの整数がぜんぶ決まる
よって4つの整数の積は
4×6×9×11＝2376
その2（渋谷教育学園渋谷2024）
1から100までの100個の整数のうち、3でも7でも割り切れない偶数は何個ありますか。
偶数は2の倍数のことだからベン図でいうと求めたいのはアの部分の個数。
そして
- 2の倍数の個数（ア+イ+ウ+エ）は100÷2＝50コ…①
- このうち3の倍数でもある数の個数（イ+エ）は（つまり6の倍数の個数だから100÷6＝16あまり4より）16コ…②
- また2の倍数のうち7の倍数でもある数の個数（ウ+エ）は（つまり14の倍数の個数だから100÷14＝7あまり2より）7コ…③
- そしてアを求めるのに①－②－③をするとエの部分（2と3と7の公倍数の個数）を2回引くことになるからエの個数を足す必要がある。そのエの個数は（2と3と7の最小公倍数42より）42、84の2コ…④
よって ①－②－③+④ より
50－16－7+2＝29個
その3（洗足学園2024）
1、2、3、4、5、6、7が1つずつ書いてある7枚のカードから4枚を選び、2枚ずつ並べて2桁の奇数を2つ作ります。大きい方の数が小さい方の数の倍数になるとき、考えることができる奇数の組をすべて求めなさい。なお、答えは (13, 25) のように書きなさい。
「考えることができる奇数」のうち最も小さいものは13。ということは「大きい方の数が小さい方の数の倍数になる」ときの倍数とは3倍か5倍の数のこと（奇数にするには奇数倍しないといけないこと、できる数のうち最も大きい奇数は75であることより）
そこで場合分けしてしらべると
❶大きい方の数が小さい方の数の3倍のとき
- 小さい方の数の候補は（上限75より）13、15、17、21、23、25
- これに対応する大きい方の数は39、45、51、63、69、75だがこのうち39、69は作れないので最終候補は (15, 45) (17, 51) (21, 63) (25, 75)
- そして「7枚のカード」だから（同じ数字は使えないから）このうち条件に合うのは (21, 63) だけ
❷大きい方の数が小さい方の数の5倍のとき
- 小さい方の数の候補は（上限75より）13と15
- これに対応する大きい方の数は65と75でどちらも作れるから最終候補は (13, 65) と (15, 75)
- 同じ数字は使えないからこのうち条件に合うのは (13, 65) だけ
よって (13, 65) (21, 63) の2組 
