以前の記事の続きです。
今年出題の立体切断の問題です。
その1（灘2024）
図の直方体ABCD-EFGHについて、辺AD、AE、EFの長さはそれぞれ1cm、2cm、1cmです。また、点Iは辺CDの真ん中の点です。3点A、F、Iを通る平面でこの直方体を切り分けたとき、点Cを含む方の立体の体積は、他方の立体の体積の▢倍です。
「3点A、F、Iを通る平面」で切るとき、AとF、AとIは（同じ平面にあるので）そのまま直線で結ぶことができ、これがそのまま切り口の辺となる。あとはIから辺AFと平行な線を引くと切り口は台形で「点Cを含む方の立体」は次の赤の三角すい台となるのがわかる。
ここで直方体ABCD-EFGHの体積を1とすると
- 赤の三角すい台に小さな三角すいをつけ足してできる青の大きな三角すいの体積は（黒の面を底面とみると）底面積が½倍、高さが2倍、三角すいなので⅓倍だから 1×½×2×⅓＝⅓
- つけ足した小さな円すいの体積はこの⅛倍（辺の比が1：2なので体積比は1：8）だから赤の三角すい台の体積は大きな三角すいの⅞倍で ⅓×⅞＝⁷⁄₂₄
- したがって「他方の立体の体積」は 1－⁷⁄₂₄＝¹⁷⁄₂₄
よって ⁷⁄₂₄÷¹⁷⁄₂₄＝⁷⁄₁₇ より点Cを含む方の立体の体積は他方の立体の体積の⁷⁄₁₇倍
その2（西大和学園2024）
一辺の長さが3cmと6cmの長方形を底面とし、高さが9cmの直方体から、図のように、一辺の長さが3cmの正方形を底面とし高さが6cmの直方体を切り取って、立体Vをつくりました。点A、B、C、Dを結んでできる三角すいと立体Vの共通部分の体積は▢㎤です。ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷3 で求められます。
切りとる順番を逆にするのがわかりやすいのでそうすると
❶切りとった直方体があるものとして「点A、B、C、Dを結んでできる三角すい」を考えてみると次のとおり。
これは黒の三角形を底面とする高さ9㎝の三角すいとみることができるのでその体積は 6×3÷2×9÷3＝27㎤…①
❷次に切りとった直方体とこの三角すいの重なりを考えると次の赤の三角すい。
この底面の三角形の面積を求めるには、上から見ると次のようにこれと相似な三角形（相似比3：2）が見つかるから赤の三角形の高さは1.8㎝（＝3÷(3+2)×3）で底面積は2.7㎠（＝3×1.8÷2）とわかる。
したがって赤の三角すい（高さ6㎝）の体積は
2.7×6÷3＝5.4㎤…②
よって共通部分の体積▢は①－②より
27－5.4＝21.6㎤ 
